Satz von Cauchy (Geometrie) - LinkFang.de





Satz von Cauchy (Geometrie)


Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem) geht zurück auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt [math]1/4[/math].

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius [math]r \,[/math] bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes [math]\pi r^2 \,[/math] und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche [math]4\pi r^2 \,[/math].

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert [math]1/4[/math]):

  • Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge [math]a[/math] ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:
Projektionsrichtung Bild Flächeninhalt des Bildes Verhältnis zur Würfeloberfläche [math]6a^2 \,[/math]
parallel zu einer Kante ein Quadrat mit Seitenlänge [math]a \,[/math] [math]a^2 \,[/math] [math]1:6 \,[/math]
parallel zu einer Flächendiagonale ein Rechteck mit Seitenlängen [math]a \,[/math] und [math]a\sqrt2[/math] [math]a^2 \sqrt 2[/math] [math]1:3\sqrt2\approx1:4{,}2[/math]
parallel zu einer Raumdiagonale ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge [math]\frac a3\sqrt6[/math] [math]a^2\sqrt3[/math] [math]1:2\sqrt3\approx1:3{,}5[/math]
andere Richtungen unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke unterschiedlich unterschiedlich
  • Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge [math]a[/math] je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:
Projektionsrichtung Bild Flächeninhalt des Bildes Verhältnis zur Tetraederoberfläche [math]{a^2} \sqrt 3[/math]
entlang einer Kante ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis [math]a \,[/math] und Höhe [math]\frac a 2 \sqrt 2[/math] [math]\frac{a^2}{4}\sqrt 2[/math] [math]1:2 \sqrt 6\approx 1:4{,}90 [/math]
parallel zu einer Höhe ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge [math]a \,[/math] [math]\frac{a^2}{4} \sqrt 3[/math] [math]1:4 \,[/math]
normal zu zwei windschiefen Kanten ein Quadrat mit Seitenlänge [math]\frac a 2 \sqrt 2[/math] [math]\frac{a^2}{2}[/math] [math]1:2\sqrt 3\approx1:3{,}46[/math]
andere Richtungen unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke unterschiedlich unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im [math]n[/math]-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch [math]\frac{nv_n}{v_{n-1}}[/math] zu ersetzen, wenn [math]v_n[/math] das Volumen der [math]n[/math]-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch


Kategorien: Geometrie | Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Satz von Cauchy (Geometrie) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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