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Satz des Heron


Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron (englisch Heron's formula).

Formulierung des Satzes

Der Flächeninhalt [math]F_{\triangle}[/math] eines Dreiecks [math]\triangle[/math] der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen

[math]a,b,c[/math]

und halbem Umfang

[math]s \, = \, \frac{a+b+c}{2}[/math]

ist

[math]F_{\triangle} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/math]   .

Ausführlicher Beweis siehe auch Wikibooks-Beweisarchiv

Andere Darstellungen

Die heronische Formel lässt sich auch so ausdrücken:

(V1) [math]F_{\Delta} = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4} [/math]   .

Ausmultipliziert erhält man:

(V2) [math]F_{\Delta} = \frac{\sqrt{2a^2 b^2 + 2a^2 c^2 +2 b^2 c^2 -a^4 -b^4 -c^4}}{4} [/math]   .

Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:

(V3) [math]F_{\Delta} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{4} [/math]   ,[1]

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:

[math] \begin{align} 16 {F_{\Delta}}^2 &= \bigl( ((a+b)+c)((a+b)-c) \bigr) \bigl( (c+(a-b))(c-(a-b)) \bigr) \\ &= \bigl( (a+b)^2 -c^2 \bigr) \bigl( c^2-(a-b)^2 \bigr) \\ &= \bigl( a^2 + 2ab + b^2 -c^2 \bigr) \bigl( c^2-a^2 + 2ab -b^2 \bigr) \\ &= \bigl( 2ab + (a^2 + b^2 - c^2) \bigr) \bigl( 2ab - (a^2 + b^2 - c^2) \bigr) \\ &= 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 \\ \end{align} [/math]   .

Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Determinantendarstellung ableiten:[2][3]

(V4) [math]F_{\Delta} = \frac{1}{4} {\sqrt{ - \det \left( \begin{matrix} 0&1&1&1 \\ 1&0&a^2&b^2 \\ 1&a^2&0&c^2 \\ 1&b^2&c^2&0 \end{matrix} \right) }} [/math]   .[4]

Diese erhält man unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:

[math] \begin{align} 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 &= 4a^2 b^2 - (c^2 - a^2 - b^2)^2 \\ &= \det \left( \begin{matrix} -2a^2&c^2-a^2-b^2 \\ c^2-a^2-b^2&-2b^2 \end{matrix} \right) \\ &= \det \left( \begin{matrix} 1&a^2&b^2 \\ 0&-2a^2&c^2-a^2-b^2 \\ 0&c^2-a^2-b^2&-2b^2 \end{matrix} \right) \\ &= \det \left( \begin{matrix} 1&a^2&b^2 \\ 1&-a^2&c^2-a^2 \\ 1&c^2-b^2&-b^2 \end{matrix} \right) \\ &= - \det \left( \begin{matrix} 0&1&0&0 \\ 1&0&a^2&b^2 \\ 1&a^2&-a^2&c^2-a^2 \\ 1&b^2&c^2-b^2&-b^2 \end{matrix} \right) \\ &= - \det \left( \begin{matrix} 0&1&1&1 \\ 1&0&a^2&b^2 \\ 1&a^2&0&c^2 \\ 1&b^2&c^2&0 \end{matrix} \right) \\ \end{align} [/math]   .

Weiterer Zusammenhang

Die heronische Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt [math]F_{\Sigma}[/math] eines Sehnenvierecks [math]\Sigma[/math] gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

[math]F_{\Sigma} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}[/math]   ,

wobei hier der halbe Umfang

[math]s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2}[/math]

ist.

Anmerkungen

  1. Für die Herleitung der heronischen Formel gibt es viele Vorgehensweisen. Insbesondere lässt sie sich elementar mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes herleiten.[5][6] Es lässt sich auch leicht zeigen, dass die heronsche Formel und der Satz des Pythagoras innerhalb der Elementargeometrie als gleichwertig zu betrachten sind.[7]
  2. Neben der Zuweisung der Formel an Heron von Alexandria gibt es auch eine Zuweisung, der zufolge sie auf Archimedes zurückgeht.[8]

Weblinks

Literatur

Einzelnachweise

  1. Zu beachten ist hierbei, dass sich die Rollen der Seitenlängen [math]a,b,c[/math] beliebig vertauschen lassen.
  2. Hajós: S. 380–381.
  3. Koecher-Krieg: S. 111.
  4. Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlängen [math]a,b,c[/math] vertauschen, was zu einer gleichwertigen, aber entsprechend abgewandelten Darstellung führt.
  5. Fraedrich: S. 324.
  6. Lambacher-Schweizer: S. 99–100.
  7. Zum Beweis siehe hier !
  8. Lexikon der Schulmathematik. Band 2, S. 389.

Kategorien: Dreiecksgeometrie | Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Satz des Heron (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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