Saddle-Node-Bifurkation - LinkFang.de





Sattel-Knoten-Bifurkation

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Die Sattel-Knoten-Bifurkation (englisch saddle node bifurcation), Falten-Bifurkation (engl. fold bifurcation), Tangenten-Bifurkation (engl. tangent bifurcation), limit point oder turning point ist ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen dynamischen Systems.

Die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation lautet

[math]\dot{x}=\mu-x^2,[/math]

wobei [math]\mu[/math] der Bifurkationsparameter ist.

Diese Normalform hat für [math]\mu\geq0[/math] Fixpunkte:

[math]{x_{1/2}}^* = \pm\sqrt{\mu}.[/math]

Das bedeutet, es existiert für [math]\mu\lt0[/math] kein Fixpunkt, für [math]\mu=0[/math] genau ein Fixpunkt und sonst zwei. Der erste Fixpunkt ist stabil (Knoten), der zweite instabil (Sattel). Am Bifurkationspunkt [math]\mu=0[/math] kollidieren Sattel und Knoten. Betrachtet man ein System mit höherer Ordnung in [math]x[/math]

[math]\dot{x}=\mu-x^2+O(x^3),[/math]

so beeinflussen diese Terme in einer genügend kleinen Umgebung um den Sattel-Knoten-Punkt [math]\mu=0[/math] das Verhalten des Systems nicht. Das heißt, das System ist lokal topologisch äquivalent am Ursprung zur Normalform. Allgemein ist die Bifurkation dadurch charakterisiert, dass ein Eigenwert der Jacobimatrix [math]D_x f(x,\mu)[/math] des dynamischen Systems [math]\dot{x}=f(x,\mu)[/math] bei einem kritischen Wert des Bifurkationsparameters Null wird.

Siehe auch

Literatur

  • Yuri A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory (= Applied Mathematica Sciences. Band 112). 2. Auflage. Springer, 1995, ISBN 0-387-98382-1.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Sattel-Knoten-Bifurkation (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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