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Riemannsche ζ-Funktion

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Die riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine zentrale Rolle spielt. Ihre entscheidende Bedeutung erlangt die riemannsche ζ-Funktion durch den Zusammenhang zwischen der Lage ihrer komplexen Nullstellen und der Verteilung der Primzahlen. Die genaue Lage dieser Nullstellen ist Gegenstand der riemannschen Vermutung, eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Ausgehend von einer Definition als Dirichlet-Reihe, findet die riemannsche ζ-Funktion in zahlreichen mathematischen Disziplinen Anwendung:

Erstmals untersucht wurde die Zeta-Funktion im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der bedeutende Aussagen bezüglich ihrer fundamentalen Eigenschaften treffen konnte. In der Zeit danach folgten viele weitere Entdeckungen, die bedeutendsten unter ihnen von Riemann im Jahr 1859, der den tiefgründigen Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und den Primzahlen erheblich erweiterte. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey. Wegen der überragenden Bedeutung der riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der riemannschen ζ-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Zeta-Funktion wird in der Literatur generell über ihre elementare Reihendarstellung definiert.

Für komplexe Zahlen [math]s = \sigma + it \in\mathbb C[/math], deren Realteil [math] \sigma [/math] größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe

[math]\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}+\frac1{6^s}+\frac1{7^s}+\ldots[/math]

Die Beschränktheit der Definitionsmenge dieser Darstellung wird ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die [math] \zeta [/math]-Funktion an der Stelle [math] s = -1 [/math] über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

[math]\begin{align} \zeta(-1) & = 1 + \frac{1}{2^{-1}} + \frac{1}{3^{-1}} + \frac{1}{4^{-1}} + \frac{1}{5^{-1}} + \frac{1}{6^{-1}} + \frac{1}{7^{-1}} + \ldots\\ & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + \ldots \end{align}[/math]

was ganz offensichtlich keinen endlichen Grenzwert besitzt. Daher ist der Definitionsbereich der Dirichlet-Reihe auf die um 1 verschobene rechte Hälfte der komplexen Zahlenebene, also auf alle [math] s \in \{z \in \mathbb{C} | \operatorname{Re}(z) \gt 1\} [/math], beschränkt; somit kann die Dirichlet-Reihe auch nur in diesem Zahlenbereich für eine Berechnung der Zeta-Funktion herangezogen werden.

Genaueres zu den Konvergenzeigenschaften findet sich im Abschnitt Konvergenzverhalten der Dirichlet-Reihe.

Trotz dieser Einschränkungen ist die Dirichlet-Reihe die Basis für alle anderen Darstellungen der Zeta-Funktion. Um die riemannsche Zeta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Zahlenebene (mit Ausnahme der Zahl 1) berechnen zu können, bedient man sich des Konzepts der analytischen Fortsetzung. Eine analytische Fortsetzung stellt anschaulich einen alternativen Ausdruck für eine Funktion bereit, der den Definitionsbereich des ursprünglichen Ausdrucks auf eindeutige Weise erweitert.

Beispiele für analytische Fortsetzungen befinden sich im Abschnitt Andere Ausdrücke für die Zeta-Funktion.

Euler-Produkt

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, welches für alle [math] s = \sigma + it [/math] mit [math] \sigma \gt 1 [/math] gültig ist:

[math] \zeta(s) = \prod_{p \ \text{prim}} \left( 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} + \ldots \right) = \prod_{p \ \text{prim}} \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{p^{ns}} \right) [/math]

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe gebildet über den Wert [math] q = p^{-s} [/math] dar, während sich das gesamte Produkt über alle Primzahlen [math] p [/math] erstreckt. Das Euler-Produkt ist deshalb so erstaunlich, da Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Jedoch stellt es eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer wohlgeordneten Reihe dar.

Zum Beweis betrachtet man für eine Schranke [math] 0 \lt X [/math] zunächst

[math] \zeta_X(s) = \prod_{p \leq X} \frac{1}{1 - p^{-s}}. [/math]

Da jeder Faktor eine geometrische Reihe ist, gilt

[math] \prod_{p \leq X} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \prod_{p \leq X} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{p^{ns}} = \sum_{n_1 = 0}^\infty \cdots \sum_{n_j = 0}^\infty \frac{1}{(p_1^{n_1} \cdots p_j^{n_j})^s} [/math]

für alle Primzahlen [math] 2 = p_1 \lt p_2 \lt \cdots \lt p_j \leq X [/math]. Dann gilt aber auch

[math] \zeta_X(s) = \sum_{n \leq X} \frac{1}{n^s} + \sum_{n \gt X}{'} \frac{1}{n^s}, [/math]

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle [math] n \gt X [/math] summiert wird, deren Primteiler sämtlich [math] \leq X [/math] sind. Daraus folgt:

[math] |\zeta(s) - \zeta_X(s)| \leq \sum_{n \gt X} \frac{1}{n^\sigma} \leq \frac{1}{X^\sigma} + \int \limits_{X}^\infty \frac{1}{t^\sigma} \mathrm{d}t \leq \frac{\sigma}{\sigma - 1} X^{1 - \sigma}, [/math]

und mit [math] \sigma \gt 1 [/math] und [math] X \to \infty [/math] folgt die Behauptung.

Funktionalgleichung

Auf ganz [math]\mathbb C[/math] gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen

[math]\zeta(1-s) = \frac{2}{(2\pi)^s}\ \cos\frac{\pi s}2\ \Gamma(s)\ \zeta(s).[/math]

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

[math] \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\frac{\pi s}{2}\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) [/math]

für alle [math] s \in \mathbb{C} \setminus \lbrace{ 0,1 \rbrace}[/math] hervor. Oft wird auch die symmetrische Variante der Funktionalgleichung, nämlich

[math] \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \ \pi^{-s/2} \ \zeta(s) = \Gamma \left( \frac{1 - s}{2} \right) \ \pi^{(s-1)/2} \ \zeta(1 - s), [/math]

in der Literatur zitiert. Hierbei bezeichnet [math] \Gamma(s) [/math] die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert.[1][2]

Die Funktionalgleichung schafft einen eindeutigen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate nach sich. So bietet sie beispielsweise wertvolle Erkenntnisse über die Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion, die in direktem Zusammenhang zu den Primzahlen stehen.

Alternativ zu der obigen Funktionalgleichung definierte Riemann in seiner Arbeit die Funktion

[math] \xi(s) = \frac{1}{2}s(s-1)\ \pi^{-s/2}\ \Gamma\left( \frac{s}{2} \right)\ \zeta(s), [/math]

für die

[math] \!\ \xi(s) = \xi(1 - s) [/math]

gilt. Sie wird auch als riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.[3]

Ein Herleitungsansatz für die Funktionalgleichung befindet sich im Abschnitt Beziehung zur Thetafunktion.

Geschichte

Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der riemannschen Zetafunktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 350 Jahren gemacht worden. Dies liegt zum einen daran, dass in der Zeit davor die notwendigen mathematischen Methoden noch nicht ausgereift waren. Die Zeta-Funktion besaß zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung noch keinerlei offensichtliche Anwendung in der Praxis. Ein Grund, weshalb sie trotzdem die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker erhielt, war, dass sie trotz ihrer sehr simpel wirkenden Struktur nicht so triviale Eigenschaften besitzt wie beispielsweise die geometrische Reihe.

Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler. Seit Beginn des 18. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe

[math] 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots [/math]

zu bestimmen. Leonhard Euler, der im Jahre 1735 dieses schwierige Basler Problem mit Hilfe eigener neuartiger Techniken löste[4], untersuchte anschließend den verallgemeinerten Ausdruck

[math] \zeta(x) = 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \frac{1}{5^x} + \ldots [/math]

(Euler verwendete das „reelle [math] x [/math]“, die Schreibweise mit komplexer Variablen [math] s [/math] wurde erst über Riemann populär) in der Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen über diese Reihe treffen zu können. Da die Methoden der komplexen Analysis Euler zu seinen Lebzeiten weitestgehend noch nicht bekannt waren, war er auch noch nicht im Stande, das Problem der Primzahlen in der Weise anzugehen wie später Riemann. Jedoch gelangen ihm einige wichtige Aussagen.

So fand er zum Beispiel die Lösung des Basler Problems und die allgemeine Formel

[math] \zeta(2n) = (-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^{2n}\ B_{2n}}{2(2n)!}, [/math]

(Euler selbst verwendete noch nicht das [math] \zeta [/math] als Funktionssymbol) und berechnete neben [math]\zeta(2), \zeta(4), \zeta(6), \dots[/math] per Hand[5] den Wert

[math] \zeta(26) = \frac{1.315.862}{11.094.481.976.030.578.125} \pi^{26}.[/math]

Auch entdeckte Euler das nach ihm benannte Euler-Produkt

[math] \zeta(x) = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{2^x}\right)\left( 1 - \frac{1}{3^x}\right)\left( 1 - \frac{1}{5^x}\right)\left( 1 - \frac{1}{7^x}\right)\cdots} [/math]

und konnte mit seiner Hilfe die Divergenz der Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen

[math] \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots = \infty [/math]

nachweisen.[6] Diese Tatsache war für ihn ein Indikator dafür, dass Primzahlen wesentlich dichter liegen müssten als Quadratzahlen, da er im Basler Problem ja gezeigt hatte, dass die unendliche Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Auch die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung soll Euler schon bekannt gewesen sein.

Im Jahr 1859 setzte Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Zeta-Funktion in zentralen Zusammenhang zu den Primzahlen. Zwar hatte Euler schon ein Jahrhundert zuvor die Gültigkeit des Euler-Produktes aufgezeigt, jedoch war es erst mit Riemanns Herangehensweise möglich geworden, daraus konkrete Informationen über Primzahlen selbst zu gewinnen. Riemann, der selbst ein Schüler von Gauß war, schrieb in seiner achtseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zu dem Primzahl-Rätsel gelungen. In ihr führte er auch zum ersten Mal das griechische [math] \zeta [/math] (Zeta) als Funktionssymbol ein. In seiner Arbeit formulierte er außerdem seine bis heute unbewiesene berühmte riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion macht. Daher beschäftigte sich Riemann ebenfalls mit der numerischen Berechnung seiner Zeta-Funktion und fand sogar die ziemlich genaue Lage einiger nicht-trivialer Nullstellen in der komplexen Ebene, ohne dafür eine Rechenmaschine zu benutzen. Seine Formel wurde später von dem deutschen Mathematiker Carl Ludwig Siegel bei der Auswertung seiner Dokumente wiederentdeckt und wird seit diesem Zeitpunkt Riemann-Siegel-Formel genannt.

Da viele von Riemanns Aufzeichnungen nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt wurden, kann bis heute nur spekuliert werden, wie weit seine Untersuchungen tatsächlich gingen. [7]

Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker S. Ramanujan im Journal of the Indian Mathematical Society einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:

[math] 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ldots = -\frac{1}{12}. [/math]

Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb:

„Mr. Ramanujan ist ein Opfer der Fallstricke des sehr schwierigen Gebietes der divergenten Reihen geworden.“

Als Ramanujan jedoch den britischen Mathematiker Godfrey Harold Hardy in Cambridge brieflich auf seine Theorie aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts [math] \zeta(-1) [/math] bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. Hardy war sich sicher, dass Ramanujan, trotz seiner fremden Art, Mathematik zu betreiben, ein Genie sein müsse.[8]

Eigenschaften

Konvergenzverhalten der Dirichlet-Reihe

Die elementare Darstellung der Zeta-Funktion über die Dirichlet-Reihe

[math] \zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots [/math]

ist nicht für alle beliebigen [math] s [/math] gültig. Das liegt daran, dass diese Reihe nur für bestimmte komplexe Zahlen [math] s [/math] konvergiert, das heißt als unendliche Summe gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Wählen wir ein [math] s = \sigma + it [/math] mit [math] \sigma \gt 0 [/math] (also mit positivem Realteil), können wir über die nun folgenden Betrachtungen auf das Konvergenzverhalten der Dirichlet-Reihe schließen.

Am einfachsten erfolgt diese über das Integralkriterium. Dieses besagt, dass zu jeder auf dem Intervall [math] [p, \infty) [/math] positiven, monoton fallenden Funktion der Grenzwert [math] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=p}^n f(k) - \int_p^n f(x) \mathrm{d}x [/math] existiert. Somit ist die Reihe genau dann konvergent, wenn auch das Integral konvergiert. Im Falle der riemannschen Zeta-Funktion wählen wir [math] f(x) = \frac{1}{x^\sigma} [/math], wobei [math] \sigma \gt 0 [/math] und [math] p = 1 [/math] im betrachteten Intervall. [math] f [/math] ist in ganz [math] [1, \infty) [/math] positiv und monoton fallend und erfüllt somit die Bedingungen des Integralkriteriums. Nun ist aber

[math] \int \limits_1^N \frac{1}{x^\sigma} \mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{1 - N^{1 - \sigma}}{\sigma - 1} \, \, \text{falls} \, \, \sigma \not= 1 \\ \log N \, \, \text{falls} \, \, \sigma = 1 \end{cases} \overset{N \to \infty}{\longrightarrow} \begin{cases} \frac{1}{\sigma - 1} \, \, \text{falls} \, \, \sigma \gt 1 \\ \infty \, \, \text{falls} \, \, \sigma \leq 1 \end{cases}[/math]

Daraus folgt, dass die Reihe [math] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\sigma} [/math] genau dann konvergiert, wenn [math] \sigma \gt 1 [/math], und genau dann divergiert, wenn [math] \sigma \leq 1 [/math]. Wählen wir zudem [math] s = \sigma + it [/math] als allgemeine komplexe Zahl, so gilt

[math] \left| \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\right| \leq \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{1}{n^s} \right| = \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{1}{n^{\sigma + it}} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\sigma}} [/math]

und daraus folgt, dass die Dirichlet-Reihe auf der gesamten Halbebene [math] \mathbb{H} = \{ s \in \mathbb{C} | \operatorname{Re} s = \sigma \gt 1\} [/math] absolut konvergiert.

Für die Dirichlet-Reihe ergibt sich zusammenfassend, dass …

  • … sie in der rechten Halbebene [math] \mathbb{H} = \{ s \in \mathbb{C} | \operatorname{Re} \, s = \sigma \gt 1\} [/math] absolut konvergiert,
  • … sie für alle [math] \epsilon \gt 0 [/math] in jedem Kreisausschnitt [math] \mathbb{S}_\delta = \{ s \in \mathbb{C} | |\arg(s - 1 - \delta)| \lt \tfrac{\pi}{2} - \epsilon \} \cup \{ 1 + \delta \}, \delta \gt 0 [/math]

gleichmäßig, absolut konvergiert

  • … sie zudem insbesondere auf jedem reellen Teilintervall [math] (1 + \epsilon, R) \subset [1, \infty) [/math] gleichmäßig, absolut konvergiert
  • … sie in der linken Halbebene [math] \mathbb{H}^{-} = \{ s \in \mathbb{C} | \operatorname{Re} \, s = \sigma \leq 1\} [/math] divergiert.

Verhalten in der komplexen Ebene

Die [math] \zeta [/math]-Funktion ist eine in ganz [math] \mathbb{C} \setminus\{ 1 \} [/math] holomorphe Funktion, das bedeutet, dass sie an allen Stellen außer [math] s=1 [/math] komplex differenzierbar ist. Darüber hinaus ist sie in ganz [math] \mathbb{C} [/math] meromorph.

An der Stelle [math] s = 1 [/math] besitzt sie, aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe, einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1, das heißt, es gilt:

[math] \lim_{s \to 1} \, (s -1) \cdot \zeta(s) = 1. [/math]

Jedoch existieren die Limiten

[math] \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\zeta(1 + \epsilon) + \zeta(1 - \epsilon)}{2} = \gamma [/math]

bzw.

[math] \lim_{s \to 1} \left[ \zeta(s) - \frac{1}{s - 1} \right] = \gamma [/math]

und streben jeweils gegen die zahlentheoretisch interessante Euler-Mascheroni-Konstante [math] \gamma = 0{,}57721 \dots[/math].

Weiter gilt:

[math] \lim_{\operatorname{Re}s \to \infty} \, \zeta(s) = \lim_{\sigma \to \infty} \zeta(\sigma + it) = 1. [/math]

Strebt also der Realteil des Arguments (unabhängig von dessen Imaginärteil) gegen unendlich, so tendiert der Funktionswert der Zeta-Funktion stets gegen 1. Eine einfache Erklärung hierfür ist das Verhalten der Dirichlet-Reihe. Wird nämlich der Realteil des Arguments stark vergrößert, so liefern die Reihenglieder nach 1 nur noch verschwindend kleine Beiträge.

[math] \lim_{\sigma \to \infty} \zeta(\sigma + it) = \lim_{\sigma \to \infty} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\sigma + it}} = 1 + \lim_{\sigma \to \infty} \left( \underbrace{ \frac{1}{2^{\sigma + it}}}_{\to 0} + \underbrace{\frac{1}{3^{\sigma + it}}}_{\to 0} + \underbrace{\frac{1}{4^{\sigma + it}}}_{\to 0} + \ldots \right) = {1 + 0} = 1. [/math]

Vergleiche hierzu auch den komplexen Graphen der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Spiegelung konjugierter Argumente

Hinweis: Diese ist keine nur für die Zeta-Funktion spezifische Eigenschaft, spielt aber bezüglich der Verteilung der Nullstellen eine wichtige Rolle, weshalb sie trotzdem ausführlicher erwähnt wird.

Zu einer komplexen Zahl [math] s = a + bi [/math] definiert man ihre Konjugation über [math] \bar s = a - bi [/math]. Es gilt nun für alle [math] s \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} [/math]:

[math] \zeta(\bar s) = \overline{\zeta(s)}. [/math]

Das bedeutet: Wenn für ein reelles Zahlenpaar [math] a, b \in \mathbb{R} [/math] mit [math] a + bi \not= 1 [/math]

[math] \!\ \zeta(a + bi) = c + di [/math]

mit [math] c,d \in \mathbb{R} [/math] gilt, so gilt gleichzeitig

[math] \!\ \zeta(a - bi) = c - di. [/math]

Mit anderen Worten: Verändert man das Vorzeichen des Imaginärteils des Arguments, so verändert sich auch das Vorzeichen des Imaginärteils des Funktionswertes.

Beweisen lässt sich dies über die Dirichlet-Reihe:

[math] \zeta(\bar s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\bar s}} = \sum_{n=1}^\infty \mathrm{e}^{-\bar{s} \log n} = \sum_{n=1}^\infty \overline{\mathrm{e}^{-s \log n}} = \overline{\sum_{n=1}^\infty \mathrm{e}^{-s \log n}} = \overline{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}} = \overline{\zeta(s)}. [/math]

Obwohl die Dirichlet-Reihe nicht global konvergiert, wird diese Eigenschaft in ganz [math] \mathbb{C} [/math] beibehalten. Auch die Tatsache, dass die Zeta-Funktion auf der reellen Achse nur reelle Werte annimmt und in ganz [math] \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} [/math] holomorph ist, kann als Begründung herangezogen werden.

Ist nun [math] s = \sigma + it [/math] eine Nullstelle, so gilt insbesondere

[math] \zeta(\sigma + it) = \zeta(\sigma - it) = 0 [/math]

weshalb [math] \sigma - it [/math] ebenfalls Nullstelle ist.

Universalitätssatz von Woronin

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die riemannsche [math] \zeta [/math]-Funktion imstande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Als anschaulichen Vergleich stelle man sich dafür vor, dass es für jede (holomorphe) Funktion eine Art „Landkarte“ gibt, die Höhen und Tiefen sowie Himmelsrichtung der Funktionswerte in der komplexen Ebene darstellt. Der Universalitätssatz besagt nun, dass man, wenn man die Landkarte der Zeta-Funktion in einem bestimmten unendlichen Bereich scannen würde, früher oder später auf Gebiete stieße, die Ausschnitten der Landkarten anderer Funktionen, also mitsamt allen darin eingetragenen „Bergen“ und „Tälern“, sehr ähneln – ja, sogar beliebig genau ähneln. Als einzige Voraussetzung gelte hierbei jedoch, dass auf dem Kartenausschnitt der fremden Funktion nie der Wert 0 eingetragen sei.

Formal ausgedrückt: sei [math] U [/math] eine zusammenhängende, kompakte Teilmenge des Streifens [math] S := \{s \in \mathbb{C} | \, 1/2 \lt \operatorname{Re} s \lt 1 \} [/math].

Sei [math] f \colon U \to \mathbb{C}[/math] nun eine in ganz [math] U [/math] holomorphe Funktion, die außerdem für kein [math] s \in U [/math] verschwinde. Es existiert dann für jedes [math] 0 \lt \epsilon [/math] ein [math] 0 \leq t [/math], sodass

[math] |\zeta (s + i t) - f (s) | \lt \epsilon [/math]

für alle [math] s \in U [/math].

Der Universalitätssatz ist insofern bemerkenswert, da sich seiner Aussage nach die [math] \zeta [/math]-Funktion im kritischen Streifen äußerst chaotisch verhalten muss, was zunächst widersprüchlich zu der (vermutlich) perfekt symmetrischen Lage ihrer Nullstellen zu sein scheint. Viele Mathematiker vermuten daher, dass sich hinter diesen abstrakten Eigenschaften eine fundamentale Theorie verbirgt.

Die Aussage, dass sich die [math] \zeta [/math]-Funktion selbst über den Universalitätssatz approximieren lässt, ist äquivalent zur riemannschen Vermutung.[9]

Spezielle Funktionswerte

Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen

Die Funktionswerte der riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl [math] \pi [/math]. Für eine positive ganze Zahl [math]n[/math] ist

[math]\zeta(2n) = (-1)^{n-1}\,\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\,\mathrm{B}_{2n},[/math]

wobei [math]\mathrm{B}_{2n} [/math] die [math]2n [/math]-te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Somit lässt sich jeder Funktionswert [math] \zeta(2n) [/math] in der Form

[math] \zeta(2n) = \left( \frac{p}{q} \right) \pi^{2n} [/math]

schreiben, wobei [math] p [/math] und [math] q [/math] ganze Zahlen sind. Daraus folgt auch sofort, dass jeder Wert [math] \zeta(2n) [/math] für natürliche Zahlen [math] n [/math] irrational und sogar transzendent ist.

Beispielsweise ist

[math]\zeta(2) = \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots=\frac{\pi^2}6,\quad\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\quad\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}.[/math]

Diese Formeln wurden von Euler entdeckt und 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht. Das Auffinden des Werts von [math]\zeta(2)[/math] ist auch als das Basler Problem bekannt.

Daneben gibt es auch die bemerkenswerte Rekursionsformel

[math]\zeta(2n) = \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \cdot\sum_{k=1}^{n-1} \zeta(2k) \cdot \zeta(2(n-k)) [/math]

für natürliche Zahlen [math]n \gt 1[/math], die Euler noch nicht bekannt war.[10]

Funktionswerte für ungerade natürliche Zahlen

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Beispielsweise weiß man, dass die Apéry-Konstante [math]\zeta(3)[/math] irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.[11] Sein Beweis fand große Achtung in den Mathematikerkreisen - z. B. zitierte Carl Ludwig Siegel:

„Man kann den Beweis nur wie einen Kristall vor sich hertragen“

mündlich durch Wilhelm Maak überliefert

Im Wesentlichen verwendete Apéry die Reihe

[math] \zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 {2k \choose k}} [/math]

mit rationalen Gliedern. Es gilt hingegen auch [math] \zeta(2) = 3\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 {2k \choose k}} [/math]. Somit geriet die Frage nach der Existenz rationaler Zahlen [math] \lambda_{2n+1} [/math] mit

[math] \zeta(2n+1) = \lambda_{2n+1} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^{2n+1} {2k \choose k}} [/math]

oder auch

[math] \zeta(2n+1) = \lambda_{2n+1} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n+1} {2k \choose k}} [/math]

zunehmend in den Mittelpunkt, um Aperys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können. Diese ist bis heute nicht geklärt, aber Gegenstand intensiver Forschung.

Es ist hingegen sehr wohl bekannt, dass unendlich viele Werte [math] \zeta(2n + 1) [/math] irrational sind.[12] Außerdem konnte Wadim Zudilin als Spezialfall zeigen, dass mindestens einer der Werte [math] \zeta(5) [/math], [math] \zeta(7) [/math], [math] \zeta(9) [/math] und [math] \zeta(11) [/math] irrational sein muss.[13]

Um 1900 fand Matyáš Lerch[14] einen besonders eleganten Ausdruck für [math] \zeta(3) [/math]:

[math] \zeta(3) = \frac{7\pi^3}{180} - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n} - 1)}. [/math]

Durch Arbeiten von Lerch und S. Ramanujan inspiriert,[15] entwickelte der Kanadier Simon Plouffe ab 1995 weitere Ausdrücke dieser Art:

[math] \zeta(5) = \frac{\pi^5}{294} - \frac{72}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5(e^{2\pi n} - 1)} - \frac{2}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5(e^{2\pi n} + 1)}, [/math]
[math] \zeta(7) = \frac{19\pi^7}{56\,700} - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7(e^{2\pi n} - 1)}. [/math]

Diese Ausdrücke eignen sich für eine effiziente Berechnung der Zetawerte sehr gut, da die einbezogenen Reihen äußerst schnell konvergieren.

Eine allgemeine Formel für alle ungeraden positiven ganzen Zahlen der Form [math]n = 4m - 1 [/math] mit [math]m = 1, 2, 3, 4, \dots [/math] ist:[16]

[math] \zeta(4m-1) = - \frac{1}{2}(2\pi)^{4m-1} \sum_{j=0}^{2m} (-1)^j \frac{\mathrm{B}_{2j}}{(2j)!} \frac{\mathrm{B}_{4m-2j}}{(4m-2j)!} - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n} - 1)}, [/math]

wobei [math]\mathrm{B}_{2j} [/math] die [math]2j [/math]-te Bernoulli-Zahl ist. Dies vereinfacht sich zu einer alternativen Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:

[math] \zeta(4m - 1) = - \frac{1}{\pi} \sum_{n=0}^{2m} (-1)^n \zeta(2n) \zeta(4m - 2n) - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n} - 1)}. [/math][17]

Somit lässt sich jeder Wert [math] \zeta(4m - 1) [/math] in der Form

[math] \zeta(4m - 1) = \frac{p}{q}\pi^{4m-1} - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n} - 1)} [/math]

mit ganzen Zahlen [math] p [/math] und [math] q [/math] schreiben, was, ähnlich bei den Werten gerader Funktionsargumente, eine engere Verwandtschaft zwischen [math] \zeta(4n - 1) [/math] und [math] \pi^{4n-1} [/math] impliziert. Es ist jedoch bis heute ungeklärt, ob einer der Werte [math] \zeta(2n+1) [/math] als rationales Vielfaches von [math] \pi^{2n+1} [/math] darstellbar ist.

2n + 1 ζ(2n + 1) OEIS Folge
3 1,2020569031595942853997381… Folge A002117 in OEIS
5 1,0369277551433699263313654… Folge A013663 in OEIS
7 1,0083492773819228268397975… Folge A013665 in OEIS
9 1,0020083928260822144178527… Folge A013667 in OEIS
11 1,0004941886041194645587022… Folge A013669 in OEIS
13 1,0001227133475784891467518… Folge A013671 in OEIS
15 1,0000305882363070204935517… Folge A013673 in OEIS
17 1,0000076371976378997622736… Folge A013675 in OEIS
19 1,0000019082127165539389256… Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Insbesondere sind sie alle rational. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Aus der Funktionalgleichung und Eulers Formel für gerade Zeta-Werte gelangt man für eine natürliche Zahl [math]n \gt 0 [/math] zu:

[math] \zeta(1 - 2n) = \frac{2}{(2\pi)^{2n}} \, \cos(\pi n) \, (2n-1)! \, (-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\mathrm{B}_{2n} = - \frac{\mathrm{B}_{2n}}{2n}. [/math]

Aus [math]\mathrm{B}_{n} = 0 [/math] für ungerade n sowie

[math]\zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \ldots = 0 [/math]

was ebenfalls aus der Funktionalgleichung folgt, geht schließlich die für alle natürlichen Zahlen [math]k \gt 0 [/math] gültige Darstellung

[math]\zeta(1-k)=-\frac{\mathrm{B}_k}k, [/math]

hervor. Weitere Werte sind:

[math]\zeta(0) = -\frac12,\quad\zeta(-1)=-\frac1{12},\quad\zeta(-3)=\frac1{120}.[/math]

Bezüglich des Wertes [math] \zeta(-1) [/math] schrieb der indische Mathematiker S. Ramanujan in einem seiner Artikel die (formal natürlich inkorrekte) Gleichung:

[math] 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ldots = - \frac{1}{12}, [/math]

siehe auch im Abschnitt Geschichte.

Mit Hilfe der Funktionalgleichung kann man auch die Ableitung im Nullpunkt bestimmen [18]:

[math] \zeta'(0)=-\frac 12 \log(2\pi)=-\log\sqrt{2\pi} [/math]

Funktionswerte für halbzahlige Argumente

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

[math]\zeta(1/2) = -1{,}46035\ 45088\ 09586\ 81288\ 94991 \ldots[/math]   (Folge A059750 in OEIS ),
[math]\zeta(3/2) = 2{,}61237\ 53486\ 85488\ 34334\ 85675 \ldots[/math]   (Folge A078434 in OEIS ).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sogenannten Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

[math]\zeta(5/2) = 1{,}34148\ 72572\ 50917\ 17975\ 67696 \ldots[/math]
[math]\zeta(7/2) = 1{,}12673\ 38673\ 17056\ 64642\ 78124 \ldots[/math]

Nullstellen

Triviale Nullstellen

Aus der Darstellung als Euler-Produkt kann man leicht folgern, dass [math]\zeta(s)\not=0[/math] für [math]\operatorname{Re} s\gt1[/math] gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens

[math]\{ s\in\mathbb C\mid 0\leq\operatorname{Re} s\leq1\}[/math]

die „trivialen“ Nullstellen [math]-2,-4,-6,\ldots[/math] sind.

Nicht-triviale Nullstellen

Neben den trivialen Nullstellen besitzt die Zeta-Funktion weitere Nullstellen im kritischen Streifen [math] S = \{ s \in \mathbb{C} \mid 1 \gt \operatorname{Re} s \gt 0 \} [/math]. Diese werden auch als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet. Das hat den Grund, dass bis heute nur sehr wenig über die genaue Lage dieser Nullstellen bekannt ist.

Spiegelung der Nullstellen

Die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion und ihre grundlegende Spiegelungseigenschaft bezüglich konjugierter Argumente implizieren ein paarweises Auftreten der nicht-trivialen Nullstellen. Ist z. B. [math] \rho [/math] eine Nullstelle im kritischen Streifen, so ist aufgrund der Funktionalgleichung

[math] 0 = \Gamma \left( \frac{\rho}{2} \right) \pi^{-\rho/2} \zeta(\rho) = \Gamma \left( \frac{1 - \rho}{2} \right) \pi^{(\rho-1)/2} \zeta(1 - \rho) [/math]

auch [math] 1 - \rho [/math] Nullstelle. Zusätzlich aber ist [math] 0 = \zeta(\rho) = \overline{\zeta(\overline{\rho})} [/math], weshalb auch [math] \overline{\rho} [/math] Nullstelle ist; analog aber auch [math] \overline{1 - \rho} = 1 - \overline{\rho}. [/math] Zu bemerken ist, dass alle Werte [math] \rho, 1- \rho, \overline{\rho} [/math] und [math] 1 - \overline{\rho} [/math] im kritischen Streifen liegen, dort zu einem Rechteck verbunden werden können und somit quasi ein Nullstellen-Doppelpaar bilden.

Ist jedoch die riemannsche Vermutung richtig, so liegen alle Nullstellen auf der Geraden [math] \operatorname{Re} s = \frac{1}{2} [/math], wobei dann stets [math] \rho = 1 - \overline{\rho} [/math] bzw. [math] \overline{\rho} = 1 - \rho [/math] gilt.

Asymptotische Verteilung

Das Verteilungsmuster der Nullstellen entlang des kritischen Streifens ist nicht vollkommen zufällig. Ähnlich wie bei den Primzahlen, die auf den ersten Blick völlig willkürlich unter den natürlichen Zahlen verstreut sind, lässt sich auch hier eine einfache Funktion finden, die zumindest asymptotisch die Streuung darstellt und nachvollzieht. So kann man für eine gegebene Zahl [math] T [/math] ein annäherndes Ergebnis auf die Frage finden, wie viele Nullstellen sich im Bereich zwischen der reellen Achse und der Gerade [math] \operatorname{Im} s = T [/math] werden finden lassen. Riemann gab in seiner Arbeit diese Formel zur asymptotischen Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen erstmals an. Er behauptete, die Anzahl [math] N(T) [/math] der Nullstellen innerhalb des Rechtecks [math] R = \{s \in \mathbb{C} \mid 0 \leq \operatorname{Re} s \leq 1, 0 \leq \operatorname{Im} s \leq T\} [/math] erfülle die asymptotische Äquivalenz

[math] N(T) \sim \frac{T}{2\pi} \log \frac{T}{2\pi} - \frac{T}{2\pi} [/math]

wobei der relative Fehler die Größenordnung [math] \log T[/math] besitzt. Seinen Gedankengang begründete er über eine Auswertung des nullstellenzählenden Integrals

[math] N(T) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial R} \frac{\xi'(s)}{\xi(s)} \mathrm{d}s = \frac{T}{2\pi} \log \frac{T}{2\pi} - \frac{T}{2\pi} + O(\log T), [/math]

wobei [math] \xi(s) [/math] die riemannsche Xi-Funktion bezeichnet, die insbesondere dieselben Nullstellen im kritischen Streifen besitzt wie die Zeta-Funktion. Unglücklicherweise fand sich in seinen Aufzeichnungen aber kein einziger Hinweis, wie er dieses Integral berechnet hatte. Da Riemann ein Genie auf dem Gebiet funktionentheoretischer Umformungen war, geht man davon aus, dass er die Auswertung schlicht für zu trivial hielt, um sie detailliert zu erklären. Das hatte zur Folge, dass Riemanns Herleitung noch Jahre nach ihrer Veröffentlichung nur als Vermutung akzeptiert werden konnte. Auch bezüglich anderer Aussagen fehlte es der Nachwelt an Beweisen. Riemann ging nämlich noch weiter und behauptete die wesentlich stärkere Aussage, dass die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden [math] \operatorname{Re} s = \frac12 [/math] ebenfalls ungefähr bei seiner Auswertung von [math] N(T) [/math] läge. Bis heute kann nur spekuliert werden, wie er es schaffen konnte, solch eine starke Aussage mit seinen Mitteln herzuleiten. Erst über 50 Jahre später konnte Mangoldt beweisen, dass Riemann zumindest bei seiner Angabe der Nullstellen im Rechteck [math] R [/math] recht gehabt hatte. [19] Riemanns Aussagen über die Verteilung der Nullstellen auf der kritischen Gerade sind jedoch wesentlich schwerer zu beweisen. Erst durch Arbeiten von Hardy, Littlewood, Selberg und Levinson im 20. Jahrhundert gelangen erste wichtige Einblicke und Erfolge.

Lage auf der kritischen Geraden

Im Jahr 1914 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, dass unendlich viele nicht-triviale Nullstellen auf der kritischen Geraden [math] \operatorname{Re} s = \frac{1}{2} [/math] liegen. In seinem damals revolutionären Beweis machte er sich zu nutze, dass für alle reellen Zahlenwerte [math]t [/math] der Ausdruck

[math] \xi \left(\frac{1}{2} + it \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + it\right) \left( it - \frac{1}{2}\right) \pi^{-1/4 - it/2} \ \Gamma\left(\frac{1}{4} + \frac{it}{2}\right) \zeta \left( \frac{1}{2} + it\right)[/math]

nur reelle Funktionswerte annimmt. Dies vereinfachte das Problem auf die zu klärende Existenz unendlich vieler Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Der durch Widerspruch geführte Beweis zeigt auf, dass [math]\xi \left(\frac{1}{2} + it \right) [/math] für [math] t \to \infty [/math] unendlich oft sein Vorzeichen wechseln muss, was schon zeigt, dass [math] \zeta(s) [/math] unendlich viele Nullstellen auf [math] \operatorname{Re} s = \frac{1}{2} [/math] besitzt. [20] 1921 verbesserte Hardy zusammen mit seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood die Aussage auf das wesentlich stärkere Resultat, dass für ausreichend große Werte [math] T [/math] die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden im Segment [math] \left\{ \frac12 + it, 0 \leq t \leq T\right\}[/math] mindestens [math] KT [/math] beträgt, wobei [math] K [/math] eine positive Konstante bezeichnet. Selberg verbesserte dieses Ergebnis 1942 auf [math] KT \log T [/math]. [21] Für diesen und andere Beiträge wurde er im Jahre 1950 mit der Fields-Medaille geehrt.

Anfang der 1970er konnte Levinson zeigen, dass mindestens ein Drittel der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss. Sein nur knapp dreiseitiger Beweis[22] wird als wichtiger Schritt in Richtung einer noch unbekannten Lösung der riemannschen Vermutung gesehen.

Explizite Berechnung der Primzahlfunktion

Über die nicht-trivialen Nullstellen kann der Wert der Primzahlfunktion [math] \pi(x) [/math] an der Stelle [math] x [/math] explizit bzw. exakt berechnet werden. Es gilt nach Riemann:

[math] J(x) = \mathrm{Li}(x) - \sum_{\rho} \mathrm{Li}(x^\rho) - \log 2 + \int \limits_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1) \log t} [/math]

und weiterführend:

[math] \pi(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}J(x^{1/n}) = J(x) - \frac{1}{2} J(x^{1/2}) - \frac{1}{3} J(x^{1/3}) - \cdots [/math]

wobei [math] \mathrm{Li}(x) [/math] der Integrallogarithmus und [math] \mu(n) [/math] die Möbiusfunktion bezeichnet. Bezüglich Konvergenz ist zu beachten, dass die Summe [math] \sum_{\rho} [/math] die Nullstellen nach ihrer Konjugation paarweise addiert. Des Weiteren sind die Terme in der Summe als [math] \mathrm{Li}(x^\rho) = \mathrm{Ei}(\rho \log x) [/math] zu verstehen (hier bezeichnet [math] \mathrm{Ei} [/math] die (komplexe) Integralexponentialfunktion), denn: Verwechslungen können bei der Auswertung von [math] x^{\rho}[/math] über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus entstehen!

Für eine anschauliche Darstellung der Approximation von [math] \pi(x) [/math] im Intervall [math] [200, 230] [/math] klicke hier [23]. Der Index [math] k [/math] in dieser Animation steht für die Anzahl der Nullstellenpaare, die in der obigen Summe eingesetzt werden.

Numerische Werte der frühen Nullstellen

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise [24]

±k ±Im ρk ±k ±Im ρk
1 14,134725141734693790… 11 52,970321477714460644…
2 21,022039638771554993… 12 56,446247697063394804…
3 25,010857580145688763… 13 59,347044002602353079…
4 30,424876125859513210… 14 60,831778524609809844…
5 32,935061587739189690… 15 65,112544048081606660…
6 37,586178158825671257… 16 67,079810529494173714…
7 40,918719012147495187… 17 69,546401711173979252…
8 43,327073280914999519… 18 72,067157674481907582…
9 48,005150881167159727… 19 75,704690699083933168…
10 49,773832477672302181… 20 77,144840068874805372…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz, …) ist bis heute nichts bekannt.[25]

Die riemannsche Vermutung

Hauptartikel: riemannsche Vermutung

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Weitere Vergrößerungen des „nullstellenfreien Bereiches“ implizieren Restgliedabschätzungen im Primzahlsatz. Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden [math]\{s \in \mathbb{C} \mid\operatorname{Re} s=1/2\}[/math] liegen. Diese so genannte riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang von parallel zur imaginären Achse verlaufenden Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems seit kurzem auch gezielt mit physikalischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenz-Methoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf, ψ bzw. ψ*, die man anschließend zur Interferenz bringt.[26]

Anwendung und Auftreten

Das prominenteste Anwendungsgebiet der riemannschen Zeta-Funktion ist die analytische Zahlentheorie. Ein Beispiel ist ihre Verbindung zum Primzahlsatz, der ein sehr wichtiges Resultat in der Primzahlforschung der Neuzeit darstellt. Aber darüber hinaus tritt sie auch im Kontext mit unendlichen Reihen und Wahrscheinlichkeitsrechnung auf. Es sind ebenfalls Anwendungsgebiete aus der Physik bekannt.

Zusammenhang zum Primzahlsatz

Hauptartikel: Primzahlsatz

Wie bereits der 15-jährige Gauß vermutete, wächst die Anzahl aller Primzahlen [math] \pi(x) [/math] unter einer gegebenen Schranke [math] x [/math] asymptotisch gleich wie der Ausdruck [math] x / \log(x) [/math]. Es gilt also

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \log(x)} = 1 [/math]

Dieser sogenannte Primzahlsatz wurde jedoch erst hundert Jahre später unabhängig von Hadamard und Poussin bewiesen.

Erstaunlicherweise ist der Primzahlsatz gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Zeta-Funktion auf der Geraden [math] \operatorname{Re} s = 1 [/math] keine Nullstellen besitzt. Die Grundidee dieses nicht-trivialen Zusammenhangs findet sich in der Analyse der Dirichletreihe

[math] - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s} [/math]

wobei [math] \Lambda [/math] hier die Mangoldt-Funktion bezeichnet, die sich durch

[math]\Lambda(n)=\begin{cases}\log(p)&\text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen lässt wobei }p\text{ prim und }k\in\N^+\\0&\text{sonst}\end{cases}[/math]

definiert. Aus [math] \zeta(1 + it) \not=0 [/math] für alle [math] t \in \mathbb{R} [/math] folgt, dass die Funktion [math] - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} [/math] auf dem ganzen Streifen [math] \operatorname{Re}(s) = 1 [/math] (außer im Punkt [math] s=1 [/math]) holomorph ist, was den Einsatz eines Taubersatzes ermöglicht. Dieser macht Aussagen über das asymptotische Wachstum der betrachteten zahlentheoretischen Funktion. Es folgt [math] \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = 1 [/math], was nach Tschebyschow äquivalent zum Primzahlsatz ist.

Bereits hier ist (in schwacher Form) zu erkennen, dass es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Zeta-Funktion gibt.

In Verbindung mit zahlentheoretischen Funktionen

Es existieren Zusammenhänge zwischen einigen zahlentheoretischen Funktionen und der [math] \zeta [/math]-Funktion. Diese Verbindungen drücken sich in Dirichlet-Reihen aus, die über die betreffenden zahlentheoretischen Funktionen gebildet werden. Hierbei macht man sich zu Nutze, dass das Produkt zweier (oder generell mehrerer) konvergenter Dirichlet-Reihen eine wiederum konvergente Dirichlet-Reihe ergibt. Man spricht auch von der sogenannten Dirichlet-Faltung zweier (oder mehrerer) Dirichlet-Reihen. In diesem Zusammenhang kann man sich zum Beispiel die Dirichlet-Reihen von [math] \zeta(s)^{-2} [/math], [math] \zeta(s)^{-1} [/math] oder auch [math] \zeta(s)^{2} [/math] ansehen.

Teilerfunktionen

Man findet beispielsweise die Relation:

[math] \zeta(s)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = 1 + \frac{2}{2^s} + \frac{2}{3^s} + \frac{3}{4^s} + \frac{2}{5^s} + \frac{4}{6^s} + \frac{2}{7^s} + \ldots, [/math]

wobei [math] d(n) [/math] die Teileranzahlfunktion darstellt, die zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl [math] n [/math] besitzt. Zu diesem Ergebnis gelangt man durch systematisches Ausmultiplizieren des Quadrates der Dirichlet-Reihe der Zeta-Funktion. Da es sich dabei um das Produkt zweier (konvergenter) Dirichlet-Reihen handelt, kann es, wie oben beschrieben, wiederum über eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden.

[math] \zeta(s)^2 = \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \right)^2 = \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} \right) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^s} \cdot \frac{1}{k^s} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(n \cdot k)^s} = \sum_{m=1}^\infty \frac{d(m)}{m^s} [/math]

Die aus dieser Faltung erzeugte Dirichlet-Reihe hat nun eine neue zahlentheoretische Funktion, die als [math] d(m) [/math] bezeichnet wird. Der Summenindex wird als [math] m [/math] gewählt, um Verwechslungen zu vermeiden. Der vorletzte Schritt der Auswertung zeigt nun, dass man den Wert von [math] d(m) [/math] über die Anzahl aller natürlichen Zahlenpaare [math] (n, k) [/math] gewinnen kann, für die [math] n \cdot k = m [/math] gilt. Somit reduziert sich die Frage nach dem Wert von [math] d(m) [/math] darauf, wie viele Teiler die betroffene Zahl [math] m [/math] besitzt.

Allgemeiner hat man:

[math] \zeta(s)\ \zeta(s - a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)}{n^s}, [/math]

wobei [math] \sigma_a(n) [/math] die verallgemeinerte Teilerfunktion ist.[27]

Möbiusfunktion

Mit der Möbiusfunktion erhält man eine Dirichlet-Reihe, die den Kehrwert der [math] \zeta [/math]-Funktion erzeugt. Es gilt dann:

[math] \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} - \frac{1}{3^s} - \frac{1}{5^s} + \frac{1}{6^s} - \frac{1}{7^s} + \ldots[/math]

Zur Erklärung dieses Zusammenhangs betrachtet man

[math] \frac{1}{\zeta(s)} = \left( 1 - \frac{1}{2^s} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^s} \right) \left( 1 - \frac{1}{5^s} \right) \cdots, [/math]

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe, die sich dann definitionsgemäß über die Möbiusfunktion erstreckt.

Summe von Quadraten

Die zahlentheoretische Frage, wie oft eine Zahl als Summe von Quadraten geschrieben werden kann, lässt sich ebenfalls auf die riemannsche Zetafunktion überleiten. So erhält man zusammen mit der dirichletschen Betafunktion:

[math] Q_2(s) := 4\zeta(s)\beta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_2(n)}{n^s}[/math]

wobei [math] a_2(n) [/math] die Anzahl aller 2-Tupel [math] (x,y) [/math] ganzer Zahlen angibt, welche die Gleichung

[math] n = x^2 + y^2 [/math]

erfüllen. Insbesondere lässt sich über diesen Ansatz zeigen, dass sich der Limes

[math] \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{a_2(k)}{k} - \pi \log n\right) [/math]

einer festen Konstanten [math] K [/math] nähert. Diese Sierpiński-Konstante (benannt nach Wacław Sierpiński) lässt sich in Abhängigkeit von der Kreiszahl, der Euler-Mascheroni Konstante und logarithmierten Werten der Gammafunktion auch schreiben als:

[math] K = \pi (2 \gamma + 4 \log \Gamma(\tfrac{3}{4}) - \log \pi). [/math]

Ähnliche Ausdrücke finden sich für 4 bzw. 8 Quadrate:

[math] Q_4(s) = 8(1 - 2^{2-2s})\ \zeta(s)\ \zeta(s-1) [/math]
[math] Q_8(s) = 16(1 - 2^{1-s} + 2^{4-2s})\ \zeta(s)\ \zeta(s-3) [/math]. [28]

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele sind

[math] \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s} [/math]

mit der eulerschen [math]\varphi[/math]-Funktion[29] und

[math] - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s} [/math]

mit der Mangoldt-Funktion.[30]

In der Analysis

Taylor-Reihen

In der Analysis tritt die Zeta-Funktion unter anderem als Koeffizientenfolge in den Taylor-Reihen des Kotangens und der Digamma-Funktion auf.

Die erzeugende Funktion der Folge [math] a_n = \zeta(n+1) [/math] mit [math] n = 1,2,3,4, \dotsc [/math] für alle [math] |z|\lt1 [/math] ist:

[math] \sum_{n=1}^\infty \zeta(n+1)z^{n} = - \gamma - \psi(1-z), [/math]

wobei [math] \psi(z) [/math] hier die Digamma-Funktion und [math] \gamma [/math] die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.[31]

Summiert man außerdem in einer Potenzreihe, die die Zetafunktionswerte als Koeffizienten hat, nur über die geradzahligen Exponenten bzw. Folgeglieder, so ergibt sich:

[math] \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)z^{2n} = -\frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{6} z^2 + \frac{\pi^4}{90} z^4 + \frac{\pi^6}{945} z^6 + \ldots = -\frac{\pi z}{2} \cot (\pi z) [/math]

ebenfalls mit Konvergenzradius 1.[32]

Unendliche Reihen

Weiter gibt es eine reichhaltige Fülle an unendlichen Reihen mit besonderen Grenzwerten, die die Zeta-Funktion beinhalten. Zwei Beispiele für Reihen mit rationalen Grenzwerten sind:

[math]\sum_{n=2}^{\infty}(\zeta(n)-1) = 1[/math]

und

[math]\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n+1)-1) = \frac14.[/math]

Zusammen mit der Euler-Mascheroni-Konstante [math] \gamma [/math] hat man:

[math] \sum_{n=2}^\infty \frac{\zeta(n)-1}{n} = 1 - \gamma [/math]
[math] \sum_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{\zeta(n)}{n} = \gamma [/math]
[math] \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n2^{n-1}} = \gamma - \log \frac{4}{\pi} [/math]

und auch:

[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)\ 2^{2n}} = 1+\log \frac{2}{3}-\gamma.[/math]

Auch für die catalansche Konstante [math] G [/math] existieren solche Reihen:[33]

[math] \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1)\ \frac{3^n-1}{4^n}\ \zeta(n+2) = G .[/math]

In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Zeta-Funktion spielt eine zentrale Rolle bei der sogenannten Zipf-Verteilung. Es gilt für eine Zufallsvariable [math] X [/math]:

[math]P(X = k) = \frac{k^{-s}}{\zeta(s)}. [/math]

Auch einige Wahrscheinlichkeitsgesetze aus der Zahlentheorie stehen in engem Zusammenhang zu der Zeta-Funktion. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte Zahlen teilerfremd sind, ist gleich

[math]\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} = 0{,}60792\ 71018\ 54026\ 62866\ldots[/math]   (Folge A059956 in OEIS ).

Allgemeiner ist [math]1/\zeta(n k)[/math] die Wahrscheinlichkeit, dass n positive ganze Zahlen keine k-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.[34]

Als Funktionswert spezieller Funktionen

Die riemannsche Zeta-Funktion taucht ebenfalls bei der Auswertung bestimmter Funktionswerte anderer spezieller Funktionen auf, was nicht zuletzt durch ihre Verbindung zur Gamma-Funktion (beispielsweise in der Funktionalgleichung) begründet werden kann. Zum Beispiel ergibt sich mit der Polygamma-Funktion:

[math] \psi_n(1) = (-1)^{n+1}\ n!\ \zeta(n+1)[/math]
[math] \psi_n \left( \frac{1}{2} \right) = (-1)^{n+1}\ n!\ (2^{n+1} - 1)\ \zeta(n+1).[/math][35]

Andere Ausdrücke für die ζ-Funktion

Neben ihrer elementaren Reihendarstellung besitzt die Zeta-Funktion eine reiche Fülle an weiteren Ausdrücken, von denen einige im Folgenden aufgeführt werden. Hierbei sei jedoch zu bemerken, dass sich die allermeisten dieser Formeln für eine effiziente numerische Berechnung eigentlich nicht eignen. Viele dieser Ausdrücke spielen jedoch in der reinen Mathematik eine wichtige Rolle, da mit ihrer Hilfe theoretische Resultate bewiesen werden können, die neben dem allgemeinen Erkenntnisgewinn auch für die spätere Anwendung entscheidende Auswirkung haben können. Weiter stellen einige dieser Formeln analytische Fortsetzungen dar, die die Zeta-Funktion auch außerhalb der um 1 verschobenen rechten Halbebene gültig darstellen.

Beziehung zur η-Funktion

Eine Möglichkeit, den Definitionsbereich der [math] \zeta [/math]-Funktion auf die gesamte rechte Halbebene [math] \mathbb{H} = \{s \in \mathbb{C} | \operatorname{Re}s \gt 0 \} [/math] auszudehnen, ergibt sich über einen Bezug zur Dirichlet-Reihendarstellung der dirichletschen η-Funktion.

[math]\eta(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{6^s} + \frac{1}{7^s} - \ldots [/math]

Man erhält über die nun folgende Umformung einen neuen Reihenausdruck für die Zeta-Funktion, der für alle [math] s \gt 0 [/math] bzw. allgemeiner [math] \operatorname{Re} s \gt 0 [/math] konvergiert. Hierbei summiert man die Reihe der Eta-Funktion mit der (mit dem Vorfaktor [math] \frac{2}{2^s} [/math] versehenen) Reihe der Zeta-Funktion zusammen.

[math] \begin{align} \eta(s) + \frac{2}{2^s} \zeta(s) & = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} + \frac{2}{2^s} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \\ & = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(2n-1)^s} - \frac{1}{(2n)^s} + \frac{2}{(2n)^s}\right) \\ & = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s). \end{align} [/math]

Stellt man diese Gleichung um, so ergibt sich der Ausdruck für [math] \operatorname{Re} s \gt 0 [/math]:

[math]\zeta(s) = \frac{1}{1 - 2^{1-s}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}. [/math]

Die Identität zwischen den Funktionen [math] \zeta(s) [/math] und [math] \eta(s) [/math],

[math] \zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1-2^{1-s}}, [/math]

ist zudem in ganz [math] \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} [/math] gültig.[36]

Erwähnenswert ist noch der interessante Ausdruck

[math]\zeta(s)= \frac{1}{s-1}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{n}{(n+1)^s}-\frac{n-s}{n^s}\right)[/math],

der für [math]\operatorname{Re} s \gt0 [/math] (also wiederum auch im kritischen Streifen) konvergiert.

Integraldarstellungen

Die riemannsche Zeta-Funktion besitzt insbesondere zahlreiche Integraldarstellungen. Die nun folgenden Beispiele haben jedoch für die praktische Berechnung der Zeta-Funktion wenig Bedeutung, da sie erstens in ihrer Definitionsmenge beschränkt sind und zweitens nur langsam bis mittelmäßig schnell konvergieren. Jedoch sind sie für die theoretische Analyse der Zeta-Funktion und die Herleitung anderer Ausdrücke, die unter Umständen schneller konvergieren, von großer Bedeutung.

Mellin-Transformation

Der offensichtlichste Ansatz zu einer Integraldarstellung erfolgt über eine sogenannte Mellin-Transformation einer noch zu findenden Funktion [math] f [/math]. Ziel ist es, später einen Ausdruck der Form

[math] \zeta(s) = h(s) \int \limits_0^\infty x^{s-1} f(x) \mathrm{d}x [/math]

zur Verfügung zu haben. Hierbei ist [math] h(s) [/math] eine skalare Hilfsfunktion mit Veränderlicher [math] s [/math], die bei der Transformation gewissermaßen als Nebenprodukt überbleibt. Die Idee ist nun, das Problem auf die elementare Darstellung der Zeta-Funktion zurückzuführen. Somit bietet es sich an zu versuchen, jeden einzelnen Summanden [math] n^{-s} [/math] der Dirichlet-Reihe über ein Integral auszudrücken, um abschließend nach [math] n = 1, 2, 3, \dots [/math] aufzusummieren. Als Ausgangspunkt bedient man sich hierfür der Integraldarstellung der Gammafunktion, die durch

[math] \Gamma(s) = \int \limits_0^\infty x^{s-1}e^{-x} \mathrm{d}x [/math]

gegeben ist. Durch die Substitution [math] x = nt [/math] in das Integral, wobei [math] n [/math] zunächst eine feste, natürliche Zahl ist, gelangt man zu:

[math] \Gamma(s) = \int \limits_{0}^\infty (nt)^{s-1} e^{-nt} n \mathrm{d}t = n^s \int \limits_0^\infty t^{s-1} e^{-nt} \mathrm{d}t [/math]

und daraus folgt schließlich:

[math] \frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty t^{s-1} e^{-nt} \mathrm{d}t. [/math]

Hier greift nun wieder die elementare Definition der Zeta-Funktion, denn nun erhält man über beidseitiges Summieren:

[math] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty t^{s-1} e^{-nt} \mathrm{d}t. [/math]

Da die Summe [math] \sum_{n=1}^\infty e^{-nt} [/math] auf jedem Intervall [math] (\epsilon, R) \subset [0, \infty) [/math] gleichmäßig konvergiert und das Integral [math] \int \limits_0^\infty x^{\sigma-1} \sum_{n=1}^\infty e^{-nx} \mathrm{d}x [/math] für alle [math] \sigma \gt 1 [/math] existiert, kann man oben Summation und Integration vertauschen und erhält zusammen mit der geometrischen Reihe:

[math] \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty x^{s-1} \sum_{n=1}^\infty e^{-nx} \mathrm{d}x = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1} \mathrm{d}x. [/math]

Diese Darstellung ist sehr nützlich. Sie schafft einen engen Zusammenhang zwischen einer Dirichlet-Reihe auf der linken und einer (integrierten) Funktion auf der rechten Seite, die verhältnismäßig einfach in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Nun ist der Umgang mit Potenzreihen aus funktionentheoretischer Sicht viel einfacher als der mit Dirichlet-Reihen. Somit können problematische Fragen wie Konvergenz, Divergenz, Nullstellen bzw. das Auffinden einer analystischen Fortsetzung der Zeta-Funktion ab sofort viel durchsichtiger angegangen werden, da sich diese Fragen auf die Eigenschaften jener Potenzreihe zurückführen lassen. Zum Beispiel liefert die oben gewonnene Integraldarstellung einen Ausdruck, der die Zeta-Funktion in die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme von [math] s = 1 [/math] fortsetzt (siehe im nächsten Abschnitt Summenformeln).

Eine weitere Integraldarstellung, die sogar für [math]\operatorname{Re} s \gt 0[/math] gilt, ist gegeben durch

[math] \zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \frac{1}{\Gamma(s)}\int \limits_0^\infty\frac{\mathrm{e}^x-x-1}{\mathrm{e}^x-1} \, \frac{x^{s-2}}{\mathrm{e}^x} \, \mathrm dx. [/math]

Kurvenintegral

Indem er den Integrationsweg des Mellin-Integrals aus dem oberen Abschnitt modifizierte, konnte Riemann die Zeta-Funktion auch über ein komplexes Kurvenintegral darstellen. Es gilt für alle [math] s \in \mathbb{C} \setminus \{1\}[/math]:

[math]2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_C \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, [/math]

wobei der Integrationsweg [math] C [/math] von +∞ nach +∞ verläuft und den Ursprung einmal umläuft.

Multiintegrale

Insbesondere gibt es noch eine Multiintegraldarstellung für natürliche Argumente. Für alle [math]n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}[/math] erhält man:

[math]\zeta(n)=\underbrace{\int\limits_0^1 \dotsi\int\limits_0^1}_{n-\mathrm{mal}}\frac{1}{1-x_1\dotsm x_n}\,\mathrm{d}x_1\,\dotso\,\mathrm{d}x_n.[/math]

So bekommt man unter anderem:

[math] \zeta(2) = \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \frac{1}{1 - x_1x_2} \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2, \quad \zeta(3) = \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \frac{1}{1 - x_1x_2x_3} \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_3 [/math]

Dies beweist man leicht durch die Auffassung des Integranden als Grenzwert der geometrischen Reihe und Vertauschung von Integration und Summation.

Recheneffiziente Integraldarstellungen

Für eine praktische Berechnung der Zeta-Funktion sind die folgenden Integralausdrücke sehr gut geeignet. Für alle [math]s\in\mathbb{C}\setminus\{1\}[/math] erhält man die Integralrelation

[math]\zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t,[/math]

die zur numerischen Berechnung der Zeta-Funktion herangezogen werden kann, da sie sehr schnell konvergiert.[37]

Fasst man dabei die beiden Terme auf der rechten Seite zusammen, erhält man

[math]\zeta(s)=2^{s-2} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}\,i\,t\right)}{{(1+i\,t)}^s}\,\mathrm{d}t[/math],

wobei das Integral allerdings einschränkend nur für [math]\operatorname{Re} s\gt1[/math] konvergiert.

Ein ähnlicher Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:

[math]\zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \frac12+2\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{2\,\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t.[/math][38]

Summenformeln

Zerlegt man die über die Mellin-Transformation gewonnene Integraldarstellung in die beiden Intervalle [math][0, 1][/math] und [math][1, \infty][/math], also

[math] \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \left( \int \limits_0^1 \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x + \int \limits_1^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x \right), [/math]

so erhält man unter Zuhilfenahme der Bernoulli-Zahlen [math]\mathrm{B}_\nu[/math] und deren Definition [math]\frac{x}{\mathrm{e}^x-1} \equiv \sum\limits_{\nu=0}^\infty\frac{\mathrm{B}_\nu}{\nu!}x^\nu[/math] über die Transformation

[math] \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \left( \int \limits_0^1 \sum_{\nu=0}^\infty \frac{\mathrm{B}_\nu}{\nu!}x^{s+\nu-2} \mathrm{d}x + \int \limits_1^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x \right) [/math]

die Summenformel

[math]\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)} \left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\sum\limits_{\nu =2}^\infty \frac{\mathrm{B}_\nu}{\nu !}\frac{1}{s+\nu-1}+\int\limits_1^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1} \, \mathrm dx \right).[/math][39]

Dieser Ausdruck, ohne großen Aufwand gewonnen, stellt [math] \zeta(s) [/math] bereits in ganz [math] \mathbb{C}\setminus \{1\} [/math] dar. Des Weiteren untermauert er den fundamentalen Zusammenhang [math] \zeta(1 - n) = - \frac{\mathrm{B}_{n}}{n} [/math], der durch einfache Umformungen aus oberem sofort gefolgert werden kann.

Einen anderen Weg, um zu einem Summenausdruck zu gelangen, stellt die Anwendung der Euler-MacLaurin-Summenformel,

[math]\sum\limits_{n=2}^{N} f(n) = \int\limits_1^N f(x)\,\mathrm dx\, +\,\sum\limits_{\nu=1}^q (-1)^\nu\,\frac{\mathrm{B}_\nu}{\nu!}\,\left(f^{(\nu-1)}(N)-f^{(\nu-1)}(1)\right)\, -\,\frac{(-1)^q}{q!}\int\limits_1^N \mathrm{B}_q(x-[x])\,f^{(q)}(x)\,\mathrm dx,[/math]

dar, wobei f als Mindestvoraussetzung eine auf dem Intervall [math][1,N][/math] q-mal differenzierbare Funktion ist, [math]\mathrm{B}_\nu(x)[/math] die Bernoulli-Polynome sind und [math][x][/math] den ganzzahligen Anteil von x darstellt.[40]

Indem man [math]\zeta(s) = 1+\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=2}^N n^{-s}[/math] mit der Summenformel umwandelt, erhält man den Ausdruck

[math]\zeta(s) = \frac{1}{s-1}\,+\,\frac{1}{2}\, +\,\sum\limits_{\nu=2}^q\frac{\mathrm{B}_\nu}{\nu!}\,\prod\limits_{k=0}^{\nu-2}(s+k)\, -\,\frac{1}{q!}\,\prod\limits_{k=0}^{q-1}(s+k)\,\int\limits_1^\infty \mathrm{B}_q(x-[x])\,x^{-(s+q)}\,\mathrm dx.[/math]

Diese Formel gilt nicht nur für die Ebene [math]\operatorname{Re} s\gt1[/math], sondern sogar für [math]\operatorname{Re} s\gt1-q[/math] (wobei natürlich wieder [math]s\neq 1[/math] sei). Durch die freie Wahl von [math]q\in\mathbb{N}[/math] kann man den Definitionsbereich beliebig ausdehnen und hat damit einen Ausdruck für ganz [math]\mathbb C[/math].[40]

Setzt man hier [math]q=1[/math] ergibt sich die in der Literatur häufig zitierte Darstellung

[math] \zeta(s) = \frac{s}{s-1} + s\int\limits_1^\infty \frac{[x]-x}{x^{s+1}}\,\mathrm{d}x, [/math]

die für [math]\operatorname{Re} s \gt 0[/math] gültig ist.[41]

Reihenentwicklungen

Die Zeta-Funktion ist holomorph in ganz [math] \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} [/math] und hat an der Stelle [math] s = 1 [/math] einen Pol erster Ordnung. Daher kann sie um [math] s = 1 [/math] in eine Laurentreihe mit Konvergenzradius [math] R = \infty [/math] entwickelt werden. Diese Laurentreihe hat die Form

[math]\zeta(s) = \frac1{s-1} + \sum\limits_{\nu=0}^\infty\frac{(-1)^\nu}{\nu!}\,\gamma_\nu\,(s-1)^\nu. [/math]

Bei den Koeffizienten

[math]\gamma_\nu=\lim_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{\log^\nu k}{k}-\frac{\log^{\nu+1} n}{\nu+1}\right)[/math]

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei [math]\gamma_0=\gamma[/math] die Euler-Mascheroni-Konstante ist,[39] für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

[math] \gamma = \lim_{s \to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right) [/math]

ergibt.

Helmut Hasse hat 1930 die von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz [math]\mathbb{C}\setminus\{2\,\pi\,i\,m/\log 2+1;\;m\in\Z\}[/math] definierte Reihenidentität

[math]\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k}(k+1)^{-s}[/math]

bewiesen.

Produktentwicklung

Neben dem Euler-Produkt gibt es eine weitere Produktdarstellung der Zeta-Funktion, die erstmals ihre Nullstellen in eine mögliche Definition direkt mit einschließt. Diese ist deshalb so bedeutend, weil sie ein wichtiger Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Nullstellen ist. Der entscheidende Schritt in Bernhard Riemanns Arbeit war nämlich der „Vergleich“ dieser beiden Produkte, was schließlich ein enges Verhältnis zwischen den Produktelementen (in diesem Falle Primzahlen und Nullstellen) impliziert.

Aufgrund ihrer langsamen Konvergenzgeschwindigkeit ist die Produktdarstellung jedoch ebenfalls nicht für eine numerische Berechnung geeignet.

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt der Form

[math] \zeta(s) = f(s) \prod_{\zeta(\omega) = 0} \left(1 - \frac{s}{\omega} \right) \, \mathrm{e}^{s/\omega} [/math]

explizit zu rekonstruieren, wobei [math] f(s) [/math] eine auf das Produkt multiplizierte und meist elementare Funktion darstellt. Im Falle der Zeta-Funktion ergibt sich für [math] f [/math] die Funktion [math] f(s) = \frac{1}{2(s-1)} \left( \frac{2\pi}{\mathrm{e}} \right)^s [/math] und somit unter Verwendung der trivialen sowie nicht-trivialen Nullstellen:

[math] \zeta(s) = \frac{1}{2(s-1)} \left( \frac{2\pi}{\mathrm{e}} \right)^s \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{s}{2n} \right) \, \mathrm{e}^{- s/(2n)} \, \cdot \, \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) \, \mathrm{e}^{s/\rho}. [/math]

Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gamma-Funktion [math] \frac{1}{\Gamma(1 + s)} = \mathrm{e}^{\gamma s} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{s}{n} \right) \mathrm{e}^{-s/n}[/math] erhält man das Hadamard-Produkt[42], benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in [math] \mathbb{C} \setminus\{1\} [/math] konvergiert:

[math] \zeta(s) = \frac{\mathrm{e}^{(\log (2\pi) - 1 - \gamma/2)s}}{2(s-1)\,\Gamma(1 + s/2)} \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)\mathrm{e}^{s/\rho}. [/math]

Eine etwas einfachere Form des Hadamard-Produktes ist:

[math] \zeta(s) = \frac{\pi^{s/2}}{2(s-1)\Gamma(1 + s/2)} \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right). [/math]

Besonders diese letzte Darstellung verdeutlicht, dass sich die [math] \zeta [/math]-Funktion im Prinzip komplett aus ihren Nullstellen und ihrer Singularität bei [math] s=1 [/math] konstruieren lässt. Jedoch ist dieses Produkt auch nur bedingt konvergent. Um absolute Konvergenz zu erreichen, müssen die Nullstellen „paarweise“ ([math] \rho [/math] und [math] 1 - \rho [/math] sind ein solches Paar) in das Produkt eingesetzt werden. Alternativ kann man daher

[math] \begin{align} \zeta(s) & = \frac{\pi^{s/2}}{2(s-1)\Gamma(1 + s/2)} \prod_{\operatorname{Im} \rho \gt 0} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)\left(1 - \frac{s}{1 - \rho} \right) \\ & = \frac{\pi^{s/2}}{2(s-1)\Gamma(1 + s/2)} \cdot \left(1 - \frac{s}{\frac{1}{2} + 14{,}134\dotso \mathrm i} \right)\left(1 - \frac{s}{\frac{1}{2} - 14{,}134\dotso \mathrm i} \right)\cdot\left(1 - \frac{s}{\frac{1}{2} + 21{,}022\dotso \mathrm i} \right)\left(1 - \frac{s}{\frac{1}{2} - 21{,}022\dotso \mathrm i} \right) \dotsm \end{align} [/math]

schreiben, um Konvergenz eindeutig herbeizuführen.

Beziehung zur Thetafunktion

Eine sehr wichtige Eigenschaft der riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionalgleichung. Diese drückt sich am einfachsten über

[math] \!\ \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \ \pi^{-s/2} \ \zeta(s) = \Gamma \left( \frac{1 - s}{2} \right) \ \pi^{(s-1)/2} \ \zeta(1 - s)[/math]

aus und es ist zu bemerken, dass auf der rechten Seite erstaunlicherweise die komplexe Variable [math] s [/math] einfach durch [math] 1 - s [/math] ersetzt wird. Es gibt mehrere Herleitungsvarianten zum Auffinden dieser Gleichung, zwei verschiedene zeigte bereits Riemann. Eine davon schließt einen einfachen Spezialfall der jacobischen Theta-Reihe direkt mit ein, nämlich [math] \theta(x) := \vartheta(0,ix) = \sum_{n = -\infty}^\infty e^{-\pi x n^2} [/math]. Als leicht abgeänderte Alternative betrachtet man [math] \psi(x) = \sum_{n = 1}^\infty e^{-\pi x n^2} [/math] und bemerkt [math] \psi(x) = \frac{1}{2}(\theta(x) - 1) [/math]. Ausgangspunkt zur Herleitung ist nun die Integraldarstellung der Funktion [math] \Gamma \left(\frac{s}{2} \right) [/math] und über die Substitution [math] x = \pi t n^2 [/math] erhält man

[math] \Gamma\left(\frac{s}{2} \right) \ \pi^{-s/2} \ \frac{1}{n^s}= \int \limits_0^\infty e^{-\pi tn^2} t^{s/2} \frac{\mathrm{d}t}{t} [/math]

(vgl. hierzu auch Integraldarstellungen), woraus sich durch beidseites Summieren für [math] \operatorname{Re} s \gt 1 [/math] schnell

[math] \Gamma\left(\frac{s}{2} \right) \ \pi^{-s/2} \ \zeta(s)= \int \limits_0^\infty \sum_{n=1}^\infty e^{-\pi tn^2} t^{s/2} \frac{\mathrm{d}t}{t} = \int \limits_0^\infty \psi(t) t^{s/2} \frac{\mathrm{d}t}{t}[/math]

ergibt. Über Fourier-Transformation fand bereits Jacobi die Identität [math] \theta (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \ \theta\left( \frac{1}{x} \right) [/math], woraus sofort [math] \frac{1 + 2\psi(x)}{1 + 2\psi\left( \frac{1}{x} \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}} [/math] folgt.[43] Durch einfaches Umstellen ergibt sich damit ein Ausdruck, der bei der weiteren Umformung des oberen Integrals von großer Nützlichkeit sein wird, nämlich

[math] \psi \left( \frac{1}{x} \right) = \sqrt{x}\psi(x) + \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2}. [/math]

Der Trick ist nun eine einfache Aufspaltung des Integrals in die Intervalle [math] [1, \infty) [/math] und [math] [0, 1] [/math], wobei in letzteres die Substitution [math] t = \frac{1}{x} [/math] vorgenommen wird:[44]

[math] \begin{align} \int \limits_0^\infty \psi(t) t^{s/2} \frac{\mathrm{d}t}{t} & = \int \limits_1^\infty \psi(t) t^{s/2} \frac{\mathrm{d}t}{t} - \int \limits_\infty^1 \psi \left( \frac{1}{x} \right) x^{-s/2} \frac{\mathrm{d}x}{x}\\ & = \int \limits_1^\infty \psi(x) x^{s/2} \frac{\mathrm{d}x}{x} + \int \limits_1^\infty \left(\sqrt{x}\psi(x) + \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2}\right)x^{-s/2} \frac{\mathrm{d}x}{x} \\ & = \int \limits_1^\infty \psi(x) \left[ x^{s/2} + x^{(1-s)/2}\right]\frac{\mathrm{d}x}{x} + \frac{1}{2} \int \limits_1^\infty \left[ x^{(1-s)/2} - x^{-s/2} \right] \frac{\mathrm{d}x}{x} \end{align} [/math]

Das zweite Integral kann einfach berechnet werden:

[math] \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \ \pi^{-s/2} \ \zeta(s) = \int \limits_1^\infty \psi(x) \left[ x^{s/2} + x^{(1-s)/2}\right]\frac{\mathrm{d}x}{x} - \frac{1}{s(1-s)}. [/math]

Wie man leicht erkennt, ist die rechte Seite unter der Abbildung [math] s \mapsto 1 - s [/math] unverändert, woraus schon die Funktionalgleichung folgt. Diese Argumentation ist deshalb gerechtfertigt, da das Integral auf der rechten Seite nun für alle [math] s \in \mathbb{C} [/math] existiert. [45]

Beziehung zur Primzetafunktion

Es gilt für alle [math] s [/math] mit [math] \operatorname{Re} s \gt 0 [/math]:

[math] \log \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P(ns)}{n}, [/math]

wobei [math] P(s) [/math] mit

[math] P(s) = \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{p^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \ldots [/math]

die Primzetafunktion bezeichnet.[46]

Über dieses Resultat kann man unter anderem zeigen, dass die Reihe [math] \frac12 + \frac13 + \frac15 + \cdots [/math] der reziproken Primzahlen divergiert.

Beziehung zur Polygammafunktion

Espinosa und Moll haben 2003 die Relation

[math]\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}+\psi(1-s)+\gamma\right)\zeta(s)=\Gamma(1-s)\ \psi_{s-1}(1)[/math]

mit der Digammafunktion [math]\psi(z)[/math] und der auf komplexe Ordnungen [math]s[/math] verallgemeinerten Polygammafunktion [math]\psi_s(z)[/math] aufgezeigt.[47] Unter Ausnutzung der Beziehung

[math]\zeta\left(s, \frac{1}{2}\right) = \left(2^s-1\right)\ \zeta(s)[/math]

zur hurwitzschen Zeta-Funktion und Einsetzen in die allgemeinere Relation

[math]\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(1-s)+\gamma\right)\zeta(s,z)=\Gamma(1-s)\ \psi_{s-1}(z)[/math]

gelangt man zu

[math]\zeta(s)=\frac{\Gamma(1-s)}{2^s\log 2}\bigl(\psi_{s-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\left(2^s-1\right)\psi_{s-1}(1)\bigr).[/math]

Damit sind die Nullstellen der ζ-Funktion Lösungen ρ der Gleichung

[math]\psi_{\rho-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \left(2^\rho-1\right)\ \psi_{\rho-1}(1).[/math]

Wegen der „Multiplikationsformel“

[math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}\psi_s\left(\frac{z+k}{n}\right)= n^{s+1}\psi_s(z)+\frac{n^{s+1}\log n}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z), [/math]

lässt sich für [math]n\in\N[/math], [math]n \gt 1[/math] sogar die allgemeinere Beziehung

[math]\zeta(s)=\frac{\Gamma(1-s)}{n^s\log n}\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\psi_{s-1}\left(\frac{k}{n}\right)-\left(n^s-1\right)\psi_{s-1}(1)\right)[/math]

herleiten.

Numerische Berechnung

Es gibt sehr effiziente Methoden, die Zeta-Funktion ohne großen Rechenaufwand numerisch anzunähern. Diese wurden in der Zeit, bevor es Rechenmaschinen oder gar Computer gab, dazu verwendet, bestimmte Funktionswerte der Zeta-Funktion auf viele Dezimalstellen genau zu bestimmen. Beispielsweise ermittelte Leonhard Euler 1735 den Wert von [math] \zeta(2) [/math] auf etwa 20 Stellen genau, bevor er das Basler Problem, das sich mit dem analytisch „exakten“ Wert von [math] \zeta(2) [/math] befasste, löste. Diese numerische Auswertung war für ihn die praktische Bestätigung für die Richtigkeit seines exakt ermittelten Wertes.[48]

Weiter fand der dänische Mathematiker Jørgen Pedersen Gram im Jahr 1903 numerische Werte der ersten 15 nicht-trivialen Nullstellen, wobei er die ersten zehn Nullstellen auf sechs und die weiteren fünf auf jeweils eine Stelle nach dem Komma ermittelte.[49]

Als effektive Methode erweist sich die „abgebrochene“ Summenformel, die mit Hilfe der Euler-MacLaurin-Summenformel hergeleitet wird (siehe auch im Abschnitt Summenformeln). Hierfür wird zunächst eine beliebige natürliche Zahl [math] N [/math] festgelegt, für die außerdem [math] N \gt |s| [/math] gelten sollte. Es gilt dann:

[math] {\zeta(s) = \sum_{n=1}^{N-1} n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + \frac{1}{2}N^{-s} + \frac{\mathrm{B}_2}{2}sN^{-s-1} + \frac{\mathrm{B}_4}{24}s(s+1)(s+2)N^{-s-3} + \ldots + \frac{\mathrm{B}_{2m}}{(2m)!}s(s+1)\cdots (s + 2m - 2)N^{-s-2m+1} + R_{2m}(s) } [/math]

wobei das Restglied [math] R_{2m} [/math] durch

[math] R_{2m}(s) = -\frac{s(s+1)\cdots (s+2m-1)}{(2m)!} \int \limits_N^\infty \mathrm{B}_{2m}(x - [x])x^{-s-2m} \mathrm{d}x [/math]

gegeben ist. Bei der (freien) Wahl von [math] m [/math] ist zu beachten, dass das Restglied nur auf der Halbebene [math] \operatorname{Re}(s + 2m - 1) \gt 1 [/math] konvergiert. Daher muss stets [math] m \gt - \operatorname{Re} \frac{s}{2} [/math] gelten. Für größer werdende Werte von [math] N [/math] verkleinert sich der Fehler [math] R_{2m} [/math] unabhängig von [math] m [/math] rapide.[50]

Beispiele

Als ein Beispiel bietet sich die numerische Annäherung des Zahlenwertes von

[math] \zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots [/math]

an. Für eine sehr gute Approximation reichen die Werte [math] N = 5 [/math] und [math] m = 2 [/math] vollkommen aus. Einsetzen ergibt:

[math] \begin{align} \zeta(2) & = \sum_{n=1}^4 n^{-2} + \frac{5^{-1}}{2-1} + \frac{1}{2}5^{-2} + \frac{\mathrm{B_2}}{2}\cdot2\cdot5^{-3} + \frac{\mathrm{B_4}}{24}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5^{-5} + R_4(2) \\ & \approx 1^{-2} + 2^{-2} + 3^{-2} + 4^{-2} + \frac{5^{-1}}{2-1} + \frac{1}{2}5^{-2} + \frac{\mathrm{B_2}}{2}\cdot2\cdot5^{-3} + \frac{\mathrm{B_4}}{24}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5^{-5}. \\ \end{align} [/math]

Die folgende Tabelle zeigt die numerische Auswertung dieser Rechnung.

Term Numerischer Wert
[math] 1^{-2} = [/math] [math] 1{,}00000000 [/math]
[math] 2^{-2} = [/math] [math] + \, 0{,}25000000 [/math]
[math] 3^{-2} = [/math] [math] + \, 0{,}11111111 [/math]
[math] 4^{-2} = [/math] [math] + \, 0{,}06250000 [/math]
[math] \frac{5^{-1}}{2-1} = [/math] [math] + \, 0{,}20000000 [/math]
[math] \frac{1}{2} 5^{-2} = [/math] [math] + \, 0{,}02000000 [/math]
[math] \frac{\mathrm{B_2}}{2}\cdot2\cdot5^{-3} = [/math] [math] + \, 0{,}00133333 [/math]
[math] \frac{\mathrm{B_4}}{24}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5^{-5} = [/math] [math] - \, 0{,}00001066 [/math]
[math] \zeta(2) \approx [/math] [math] 1{,}64493378 [/math]

Diese mit wenig Aufwand gewonnene Approximation stimmt mit dem tatsächlichen Wert

[math] \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} = 1{,}644934067 \dotsc[/math]

bereits in sechs Dezimalstellen (gerundet) nach dem Komma überein.[51]

Analog kann der Dezimalwert von [math] \zeta(1/2) [/math] angenähert werden. Hier reicht die Wahl von [math] N = 4 [/math] und [math] m = 2 [/math].

Term Numerischer Wert
[math] 1^{-1/2} = [/math] [math] 1{,}00000000 [/math]
[math] 2^{-1/2} = [/math] [math] + \, 0{,}70710678 [/math]
[math] 3^{-1/2} = [/math] [math] + \, 0{,}57735027 [/math]
[math] \frac{4^{1/2}}{\frac{1}{2} - 1} = [/math] [math] - \, 4{,}00000000 [/math]
[math] \frac{1}{2}4^{-1/2} = [/math] [math] + \, 0{,}25000000 [/math]
[math] \frac{\mathrm{B_2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot4^{-3/2} = [/math] [math] + \, 0{,}00520833 [/math]
[math] \frac{\mathrm{B_4}}{24}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot4^{-7/2} = [/math] [math] - \, 0{,}00002034 [/math]
[math] \zeta(1/2) \approx [/math] [math] - \, 1{,}46035496 [/math]

Auch dieser Wert stimmt auf sechs Dezimalstellen genau.[52]

Ableitung

Ausdruck über Dirichlet-Reihen

Alle Ableitungsfunktionen der riemannschen Zeta-Funktion (also die erste, zweite und höhere Ableitungen) lassen sich, wie die Zeta-Funktion selbst, für komplexe Zahlen [math] s = \sigma + it [/math] mit [math] \sigma \gt 1 [/math] als Dirichlet-Reihen ausdrücken.

Beispielsweise bietet sich für die erste Ableitung gliedweise Differenzierung der Dirichlet-Reihe der [math] \zeta [/math]-Funktion an. Man erhält:

[math] \zeta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots \right) = - \left(\frac{\log 2}{2^s} + \frac{\log 3}{3^s} + \frac{\log 4}{4^s} + \ldots \right) = -\sum_{n=2}^\infty \frac{\log n}{n^s}. [/math]

Somit ist ihre Ableitung die Dirichlet-erzeugende Funktion der Folge [math] a_n = -\log n [/math].

Für die [math] k [/math] -te Ableitung gilt allgemein:

[math] \zeta^{(k)}(s) = (-1)^k \, \sum_{n=2}^\infty \frac{(\log n)^k}{n^s}. [/math]

Dies folgert man leicht über den folgenden Rechenweg unter Ausnutzung der Ableitungseigenschaften der Exponentialfunktion:

[math] \zeta^{(k)}(s) = \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}s^k} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}s^k} e^{- s\log n} = \sum_{n=1}^\infty (- \log n)^k\ e^{- s\log n} = (-1)^k\sum_{n=2}^\infty \frac{(\log n)^k}{n^s}. [/math]

Die Eigenschaft der Holomorphie in ganz [math] \mathbb{C} \setminus \{1\} [/math] wird von der Zeta-Funktion auch auf ihre Ableitungen übertragen. Das bedeutet, dass sich für jede (auch höhere) Ableitungsfunktion der Zeta-Funktion auch eine analytische Fortsetzung finden lässt, die über den Definitionsbereich der Dirichlet-Reihen hinausgeht.

Weitere Ausdrücke

Eine weitere Formel für die Ableitung der [math] \zeta [/math]-Funktion lässt sich mittels logarithmischer Ableitung gewinnen, also über die Identität:

[math] \frac{\left( \prod_k f_k\right)'}{\prod_k f_k} = \sum_k \frac{f'_k}{f_k} [/math]

Setzt man hier [math] f_k = \frac{1}{1 - \frac{1}{p_k^s}} [/math] für die [math] k [/math]-te Primzahl (Euler-Produkt), ergibt sich:

[math] \zeta'(s) = - \zeta(s) \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{\log p}{p^s - 1} = - \zeta(s) \left( \frac{\log 2}{2^s - 1} + \frac{\log 3}{3^s - 1} + \frac{\log 5}{5^s - 1} + \frac{\log 7}{7^s - 1} + \ldots \right). [/math]

Für eine numerische Berechnung in ganz [math] \mathbb{C}\setminus \{ 1 \} [/math] eignet sich:

[math] {\zeta'(s) = 2^{s-1}\left(\frac{\log 2}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^2} + \int \limits_0^\infty \frac{2 \arctan t \cdot \cos(s \arctan t) + \log \frac{4}{1 + t^2} \cdot \sin( s \arctan t)}{(1 + t^2)^{\frac{s}{2}} \cdot (e^{\pi t} + 1)} \mathrm{d}t\right). }[/math]

Spezielle Werte

Für alle negativen ganzen Zahlen [math] -2n = -2, -4, -6, -8, \dotsc [/math] erhält man insbesondere:

[math] \zeta'(-2n) = (-1)^n \frac{\zeta(2n+1) (2n)!}{2^{2n+1}\ \pi^{2n}}. [/math]

Daraus ergeben sich unter anderem die Werte:

[math] \zeta'(-2) = - \frac{\zeta(3)}{4\pi^2}, \quad \zeta'(-4) = \frac{3 \zeta(5)}{4\pi^4}, \quad \zeta'(-6) = - \frac{45\zeta(7)}{8\pi^6}. [/math]

Andere Werte sind:

[math] \zeta'(0) = - \frac{1}{2} \log 2\pi, \quad \zeta'(-1) = \frac{1}{12} - \log A, [/math]

wobei [math] A [/math] hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

Stammfunktion

Eine Stammfunktion der [math] \zeta [/math]-Funktion ist für alle [math] \operatorname{Re} s \gt 1 [/math] gegeben durch:

[math] \int \zeta(s) \, \mathrm{d}s = s - \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^s \log n} + C. [/math]

Verallgemeinerungen und andere Zeta-Funktionen

In dem Wunsch, die Definition der riemannschen Zeta-Funktion zu verallgemeinern oder zu variieren, wurden zahlreiche verwandte Funktionen eingeführt und untersucht. Häufig tragen diese ebenfalls den Namen „Zeta-Funktion“, verbunden mit dem Namen ihres „Entdeckers“. Insbesondere seien hier die dedekindsche Zeta-Funktion, die hurwitzsche Zeta-Funktion und die lerchsche Zeta-Funktion genannt, siehe auch Liste aller Zeta-Funktionen. Dabei verallgemeinert die dedekindsche Zeta-Funktion die riemannsche vom Körper der rationalen Zahlen auf beliebige algebraische Zahlkörper. Mit Hilfe der hurwitzschen Zeta-Funktion lassen sich die riemannsche Zeta-Funktion und die dirichletschen L-Funktionen einheitlich behandeln. Die weit reichende Definition der lerchschen Zeta-Funktion gestattet nicht nur Spezialisierungen zur hurwitzschen und somit auch zur riemannschen Zeta-Funktion, sondern beinhaltet noch zahlreiche weitere, wichtige Funktionen als Spezialfälle. Ähnlich definierte „verallgemeinerte Zeta-Funktionen“ werden auch in der theoretischen Physik verwendet, und zwar im Zusammenhang mit der systematischen sogenannten semiklassischen Näherung quantenmechanischer Resultate.

Siehe auch

Literatur

Zur Mathematik:

Die Fachliteratur zur Mathematik der riemannschen Zetafunktion wurde zu einem großen Teil in englischer Sprache verfasst. Es existiert vergleichsweise wenig deutschsprachige Fachliteratur zu diesem Thema. Wegen des engen Zusammenhangs zwischen riemannscher Zeta-Funktion, riemannscher Vermutung (englisch: Riemann Hypothesis), Primzahlen und Primzahlsatz behandelt Fachliteratur zu einem der drei zuletzt genannten Themen häufig auch die riemannsche Zeta-Funktion. Lehrbücher zur analytischen Zahlentheorie enthalten in der Regel eine Darstellung der riemannschen Zeta-Funktion. Mitunter gilt dies sogar für Lehrbücher zur algebraischen Zahlentheorie.

  • Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90163-9 (Insbesondere Kapitel 11, 12 und 13).
  • Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5 (Insbesondere Kapitel 2 und 3. Fasst in Kapitel 10 die Geschichte der riemannschen Zeta-Funktion, der riemannschen Vermutung und des Primzahlsatzes von 1737 bis 2004 zusammen. Gibt zu diesem Themenkreis im zweiten Teil des Buches eine Auswahl der wichtigsten mathematischen Originalarbeiten von 1852 bis 2004 wieder.).
  • Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 1995, ISBN 3-540-58821-3.
  • John Brian Conrey: More than two fifths or the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1989, Nr. 399. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1989, S. 1–26.
  • Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, 2001, ISBN 0-486-41740-9 (Dieses Buch erläutert ausführlich die Mathematik in Bernhard Riemanns berühmter Originalarbeit "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" aus dem Jahr 1859. Es enthält im Anhang eine englische Übersetzung dieser Originalarbeit.).
  • Aleksandar Ivić: The Riemann Zeta-Function: theory and applications. Dover, Mineola 2003, ISBN 0-486-42813-3.
  • Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3633-1 (Insbesondere Kapitel 1 und 5).
  • Eugen Jahnke: Tafeln höherer Funktionen. Teubner, Stuttgart 1966.
  • Anatoly A. Karatsuba, S.M. Voronin: The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013170-6.
  • Peter Meier, Jörn Steuding: Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt! In: Spektrum der Wissenschaft Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“. ISBN 978-3-941205-34-5, S. 12–19.
  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6 (Insbesondere Kapitel 7).
  • Samuel Patterson: An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press, New York 1995, ISBN 0-521-49905-4.
  • Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-18078-1 (Insbesondere Kapitel 4, Abschnitt I.).
  • Bernhard Riemann: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin 1859, S. 671–680.
  • Atle Selberg: On the zeros of the Riemann zeta-function. In: Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. Band 10, 1942, S. 1–59.
  • Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 3-540-26526-0 (Insbesondere Kapitel 1, welches auch den Beweis des Universalitätssatzes von Woronin skizziert.).
  • Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. 1951.
  • Sergei Michailowitsch Woronin: Theorem on the 'universality' of the Riemann zeta-function. In: Mathematics of the USSR-Izvestiya. Band 9, Nr. 3, 1975, S. 443–445.
  • Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer, Berlin; Heidelberg; New York 1981, ISBN 3-540-10603-0 (Teil 1, insbesondere § 4).

Zur Geschichte:

  • Peter Borwein et al.: The Riemann Hypothesis. (Siehe geschichtliche Zeitleiste in Kapitel 10. Angaben zum Buch befinden sich in der Literaturliste "Zur Mathematik".).
  • Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66289-8 (Geschichtlich orientiertes mathematisches Lehrbuch).
  • Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 4. Auflage. Beck, München 2005, ISBN 3-406-52320-X.

Weblinks

 Commons: Riemannsche ζ-Funktion  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Deutschsprachige Weblinks:

Englischsprachige Weblinks:

Mathematische Fachartikel:

Einzelnachweise

  1. Aleksandar Ivic: The Riemann Zeta-Function, Dover, ISBN 978-0-486-42813-0, Seite 4
  2. Julian Havil: Gamma. Springer-Verlag Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, Seite 290
  3. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 16
  4. Julian Havil: Gamma. Springer-Verlag Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, Seite 50
  5. Julian Havil: Gamma. Springer-Verlag Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, Seite 53
  6. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover Verlag ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 1
  7. Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Deutscher Taschenbuch Verlag, ISBN 978-3-423-34299-5, Seite 130
  8. Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Deutscher Taschenbuch Verlag, ISBN 978-3-423-34299-5, Seite 170 ff.
  9. Jörn Steuding: On the Universality of the Riemann zeta-function (PDF; 456 kB), 11. Oktober 2012, Seite 54.
  10. Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. Springer-Verlag Berlin et al. 1984, ISBN 3-540-12782-8, Seite 234.
  11. Roger Apéry: Irrationalité de [math]\zeta(2)[/math] et [math]\zeta(3)[/math]. Astérisque 61, 1979, S. 11–13
  12. T. Rivoal: La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique. 331, 2000, S. 267–270. arxiv:math/0008051 . doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4 .
  13. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. In: Russ. Math. Surv.. 56, Nr. 4, 2001, S. 774–776.
  14. Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument , Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung )
  15. Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks
  16. Linas Vepstas: On Plouffe’s Ramanujan Identities (PDF; 202 kB)
  17. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function (PDF; 310 kB), 11. Oktober 2012, Seite 270
  18. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Abschnitt 3.8
  19. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 19
  20. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 226-229
  21. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 226
  22. Norman Levinson: At least One-Third of Zeros of Riemann's Zeta-Function are on [math] \sigma = \frac12 [/math] (PDF; 314 kB)
  23. J. Laurie Snell, Bill Peterson, Jeanne Albert, and Charles Grinstead: Chance in the Primes: Chapter 1
  24. Andrew Odlyzko: Table of zeros of the Riemann zeta function
  25. Julian Havil: Gamma. Springer-Verlag Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, Seite 226.
  26. siehe z. B. W. Merkel et al.: Factorization of Numbers with Physical Systems. In: W.P. Schleich und H. Walther (Hrsg.): Elements of Quantum Information. Wiley-VCH-Verlag, Weinheim 2007, Seite 339 bis 353
  27. Eric W. Weisstein: Divisor Function . In: MathWorld (englisch).
  28. Holger Reeker: Eulerprodukte von zwei-variablen Zetafunktionen, S. 44-46
  29. G. H. Hardy und E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, ISBN 978-0-198-53171-5, 1979
  30. Springer: Encyclopedia of Mathematics: Mangoldt Function , 10. Oktober 2012
  31. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function (PDF; 310 kB), Seite 254.
  32. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function (PDF; 310 kB), Seite 254.
  33. Weisstein: Wolfram Mathworld: Catalan's Constant , 10. Oktober 2012
  34. ITEM 53 (Salamin) aus M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM, MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch)
  35. Weisstein: Wolfram Mathworld: Polygamma Function
  36. Aleksandar Ivic: The Riemann Zeta-Function, Dover, ISBN 978-0-486-42813-0, Seite 4
  37. Michael S. Milgram: Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta function, Dirichelet’s Eta Function and a Medley of Related Results (PDF; 430 kB), Seite 5
  38. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function (PDF; 310 kB), Seite 253
  39. 39,0 39,1 Dragan Miličić: Notes on Riemann's Zeta Function. (PDF; 121 kB)
  40. 40,0 40,1 Hans Rademacher: Topics in Analytic Number Theory. Springer-Verlag Berlin et al. 1973, ISBN 3-540-05447-2.
  41. Jörn Steuding: On the Universality of the Riemann zeta-function (PDF; 456 kB), 11. Oktober 2012, Seite 3.
  42. André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros (PDF; 182 kB), CEA, Service de Physique Théorique de Saclay (CNRS URA 2306), Seite 6.
  43. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 15
  44. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 15
  45. Otto Forster: Funktionalgleichung der Zeta-Funktion (PDF; 251 kB)
  46. Komaravolu Chandrasekharan: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, 1965/66, Kapitel XI, Seite 2
  47. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  48. Julian Havil: Gamma. Springer-Verlag Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, Seite 50
  49. J. P. Gram: Sur les Zéros de la Fonction [math] \zeta(s) [/math] de Riemann. Acta Math. 27, 289-304 (1903)
  50. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 114
  51. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 116
  52. H. M. Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, Seite 116

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