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Richtungsableitung


In der Mathematik ist die Richtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung.

Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das Gâteaux-Differential.

Definitionen

Seien [math]U\subset\R^n[/math] eine offene Menge, [math]x\in{U}[/math] und [math]v\in\R^n[/math] ein Vektor.

Die Richtungsableitung einer Funktion [math]f\colon{U}\to\R[/math] am Punkt [math]x[/math] in Richtung von [math]v[/math] ist definiert durch den Limes

[math]D_{v}{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}},[/math]

falls dieser existiert.

Alternative Definition

Durch [math]f_{x,v}:t \mapsto f(x + t\cdot v)[/math] ist eine Funktion [math]f_{x,v}\colon (-\epsilon;\epsilon)\to \R[/math] in der Umgebung der 0 definiert. [math]\epsilon\gt0[/math] ist dabei so gewählt, dass folgendes gilt

[math]\{x+t\cdot v|-\epsilon\ltt\lt\epsilon\}\subset U[/math].

Es ist [math]f_{x,v}(0) = f(x)[/math] und die Ableitung von [math]f_{x,v}[/math] an der Stelle [math]t=0[/math] ist gerade die Richtungsableitung von [math]f[/math] im Punkt [math]x[/math] in Richtung [math]v[/math]:

[math]D_v f(x) = f_{x,v}'(0) = \frac{d}{dt}f(x + t\cdot v)\Big|_{t=0}[/math]

Einseitige Richtungsableitungen

Die einseitigen Richtungsableitungen von [math]f\colon{U} \rightarrow \mathbb{R}[/math] in Richtung [math]v\in\R^{n}[/math] sind definiert durch

[math]D^{+}_v{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0,\,h\gt0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}}[/math]
[math]D^{-}_v{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0,\,h\lt0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}} = -D_{-v}^+f(x).[/math]

Die Richtungsableitung in Richtung [math]v[/math] existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Richtungsableitungen [math] D^{+}_{v}{f(x)}[/math] und [math]D^{-}_{v}{f(x)}[/math] übereinstimmen. In diesem Fall gilt

[math]D_{v}{f(x)} = D^{+}_{v}{f(x)} = D^{-}_{v}{f(x)}. [/math]

Ableitung in normierte Richtungen

Einige Autoren[1] definieren die Richtungsableitung nur in Richtung normierter Vektoren:

[math]D_{v}{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h\cdot|v|}}.[/math]

Für Richtungen [math]v[/math] auf der Einheitssphäre [math]\mathbb{S}^{n-1}[/math] stimmen diese beiden Definition überein. Andernfalls unterscheiden sich die beiden Definition durch den Faktor [math]|v|[/math]. Während die obige Definition für alle Richtungen definiert ist, ist die Ableitung in normierte Richtungen nur für [math]v\neq0[/math] definiert.

Schreibweisen

Statt [math]D_v f (x)[/math] sind auch die Schreibweisen

[math]\nabla_{v}{f}(x)[/math],   [math]\partial_v f(x)[/math],   [math]\displaystyle\frac{\partial{f(x)}}{\partial{v}}[/math]   und [math] f'_v(x) [/math]

üblich, um unter anderem Verwechslungen mit den kovarianten Ableitungen der Differentialgeometrie zu vermeiden.

Ist [math]f[/math] total differenzierbar, so kann die Richtungsableitung mit Hilfe der totalen Ableitung dargestellt werden (siehe den Abschnitt Eigenschaften). Schreibweisen dafür sind

[math]Df(x) v[/math],   [math]Df_x \, v[/math],   [math]\operatorname{grad}\ f(x) \cdot v[/math],   [math]\nabla f(x) \cdot v[/math]   und [math](v \cdot \nabla) f (x)[/math].

Eigenschaften

  • Wählt man als Richtungsvektor [math]\vec v[/math] die Koordinateneinheitsvektoren [math]\vec e_1, \dots, \vec e_n[/math], so erhält man die partiellen Ableitungen von [math]f[/math] im jeweiligen Punkt [math]\vec x[/math]:
    [math]D_{\vec e_i} f(\vec x) = \frac{\partial f}{\partial x_i} (\vec x)[/math]
  • Die einseitige Richtungsableitung ist als Funktion von [math]\vec{v}[/math] positiv homogen, das heißt für alle positiven [math]\alpha\gt0[/math] gilt:
    [math]D^{+}_{\alpha\vec{v}}{f(\vec{x})}=\alpha D^{+}_{\vec{v}}{f(\vec{x})}.[/math]
  • Falls [math]f[/math] in [math]\vec{x}[/math] total differenzierbar ist, so ist die Richtungsableitung als Funktion von [math]\vec{v}[/math] sogar linear und kann durch den Gradienten [math]\nabla f[/math] von [math]f[/math] ausgedrückt werden:
    [math]D_{\vec{v}}{f}(\vec x) = \nabla f(\vec x) \cdot \vec{v} = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec x) \,v_1 + \dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec x)\, v_n [/math]

Beispiele

Eindimensionale Betragsfunktion

Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei mögliche Richtungen, nämlich nach links bzw. nach rechts. Die Richtungsableitungen entsprechen also den üblichen einseitigen Ableitungen. Die Ableitungen in beide Richtungen dürfen verschiedene Werte annehmen, das bedeutet anschaulich, dass die Funktion einen Knick haben kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion. Sie ist in [math]0[/math] zwar nicht differenzierbar, aber die einseitige Richtungsableitung existiert:

[math]D^{+}_{v}{f(0)}=v[/math] für [math]v\geq 0[/math] und
[math]D^{+}_{v}{f(0)}=-v[/math] für [math]v \leq 0[/math]

Der Absolutbetrag ist also gleich seiner einseitigen Richtungsableitung in 0 als Funktion von [math]v[/math].

Normalenableitung auf Gebieten

Ist [math]\Omega \subset \R^n[/math] [math](n\gt1)[/math] ein glatt berandetes Gebiet mit einem äußeren Normalenvektorfeld [math]\nu[/math] und [math]f\in C^1(\bar\Omega)[/math], dann ist

[math]\frac{\partial f}{\partial \nu}=\nabla f \cdot \nu[/math]

die Normalenableitung von [math]f[/math] auf dem Rand von [math]\Omega[/math]. Objekte dieser Art treten beispielsweise bei partiellen Differentialgleichungen mit Neumann-Randbedingungen auf.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Verlag 2008, ISBN 9783834802255, S. 66.

Kategorien: Differentialoperator | Analysis

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