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Rhombendodekaeder


Das Rhombendodekaeder ist ein Polyeder mit zwölf rhombenförmigen Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. An sechs der Ecken grenzen vier Kanten und an die übrigen acht Ecken grenzen drei Kanten.

Es ist ein catalanischer Körper und dual zum Kuboktaeder. Das Rhombendodekaeder ist auch der Hüllkörper, der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Hexaeders (Würfel) und eines Oktaeders beschrieben wird.

Wird ein Hexaeder „umgekrempelt“, entsteht ein Rhombendodekaeder. Jede Seite des Hexaeders beschreibt eine Pyramide mit dem Mittelpunkt des Hexaeders als Spitze. Diese Pyramiden werden, mit den Hexaederseiten nach innen, zusammengesetzt (also auf die Hexaederseiten aufgesetzt). Es entsteht ein Rhombendodekaeder mit dem einbeschriebenen Hexaeder als Hohlform. Daraus folgt, dass das Volumen eines Rhombendodekaeders doppelt so groß ist wie das eines Hexaeders mit der Kantenlänge der kleinen Diagonalen der Seitenflächen.

Das Rhombendodekaeder entsteht ebenfalls durch die Anwendung eines ähnlichen Vorgangs auf das Oktaeder.

Mehrere Rhombendodekaeder füllen den Raum lückenlos aus, wenn sie – wie in der nebenstehenden Grafik gezeigt – aneinandergefügt werden.

Verwandte Polyeder

Werden auf die 12 Begrenzungsflächen des Rhombendodekaeders[1] Pyramiden mit den Flankenlängen [math]b[/math] und [math]c \,(\lt b)[/math] aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Hexakisoktaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

[math]\tfrac{a}{3} \sqrt{6} \lt b \lt \tfrac{2}{9}a \sqrt{15}[/math]
  • Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten [math]a[/math] und [math]b[/math] entsteht, wenn [math] b = 2a \, (\sqrt{2} - 1) [/math] ist.
  • Nimmt [math]b[/math] den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisoktaeder zu einem Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen [math]a[/math] und [math]b[/math].

Formeln

Für das Polyeder[1]

Größen eines Rhombendodekaeders
Volumen [math]V = \frac{16}{9}\,a^3 \sqrt{3} [/math]
Oberflächeninhalt [math]A_O\, = 8\,a^2 \sqrt{2} [/math]
Inkugelradius [math]\rho = \frac{a}{3} \sqrt{6} [/math]
Kantenkugelradius [math]r = \frac{2}{3}\,a\,\sqrt{2} [/math]
Flächenwinkel
 = 120°
[math] \cos \, \alpha = -\frac{1}{2} [/math]
Flächen-Kanten-Winkel
 ≈ 125° 15′ 52″
[math] \cos \, \beta = -\frac{1}{3} \sqrt{3} [/math]
1. Eckenraumwinkel
 = π (3 Flächen)
[math] \cos \, \Omega_1 = -1 [/math]
2. Eckenraumwinkel
 = 2/3 π (4 Flächen)
[math] \cos \, \Omega_2 = -\frac{1}{2} [/math]

Für die Rhomben[1]

Größen der Rhomben
Flächeninhalt [math] A = \frac{2}{3} a^2 \sqrt{2} [/math]
Inkreisradius [math] r = \frac{a}{3} \sqrt{2} [/math]
Lange Diagonale [math] e = \frac{2}{3} a \sqrt{6} = f \sqrt{2} [/math]
Kurze Diagonale [math] f = \frac{2}{3} a \sqrt{3} [/math]
Spitze Winkel (2)
≈ 70° 31′ 44″
[math] \cos \, \alpha = \frac{1}{3} [/math]
Stumpfe Winkel (2)
≈ 109° 28′ 16″
[math] \cos \, \beta = -\frac{1}{3} [/math]

Vorkommen

Anmerkungen

  1. 1,0 1,1 1,2 Kantenlänge a

Weblinks

 Commons: Rhombendodekaeder  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Rhombendodekaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kategorien: Catalanischer Körper

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Rhombendodekaeder (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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