Restklassenkörper - LinkFang.de





Restklassenkörper


Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl; in einer komplizierteren Fassung geben sie die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt an.

Restklassenkörper modulo einer Primzahl

Ist [math]p[/math] eine Primzahl, so ist der Restklassenring [math]\mathbb Z/p\mathbb Z[/math] ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit [math]p[/math] Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo [math]p[/math] genannt und üblicherweise mit [math]\mathbb F_p[/math] bezeichnet; man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper [math]\mathbb F_{p^2}[/math],[math]\mathbb F_{p^3},\ldots[/math] gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe

Ist [math]A[/math] ein lokaler Ring mit maximalem Ideal [math]\mathfrak m[/math], so heißt der Faktorring [math]A/\mathfrak m[/math] (der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist) der Restklassenkörper von [math]A[/math].

Ist [math]K[/math] ein diskret bewerteter Körper mit Bewertungsring [math]\mathcal O[/math] und uniformisierendem Element [math]\pi[/math], dann bezeichnet man [math]\mathcal O/\pi[/math] als Restklassenkörper von [math]K[/math].

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata

Ist [math]X[/math] ein Schema und [math]x\in X[/math] ein Punkt, so heißt der Restklassenkörper des lokalen Ringes [math]\mathcal O_{X,x}[/math] der Restklassenkörper von [math]X[/math] in [math]x[/math] und wird häufig mit [math]\kappa(x)[/math] bezeichnet.

Ist [math]X[/math] ein Schema über einem Körper [math]k[/math], so sind alle Restklassenkörper von [math]X[/math] Körpererweiterungen von [math]k[/math]. Ist [math]X/k[/math] lokal endlichen Typs und [math]x\in X[/math] ein abgeschlossener Punkt, so ist [math]\kappa(x)[/math] eine endliche Erweiterung von [math]k[/math]; dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenkörper (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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