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Restklasse


Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl [math]a[/math] modulo einer Zahl [math]m[/math] die Menge aller Zahlen, die bei Division durch [math]m[/math] denselben Rest lassen wie [math]a[/math].

Definition

Es sei [math]m[/math] eine von 0 verschiedene ganze Zahl und [math]a[/math] eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von [math]a[/math] modulo [math]m[/math], geschrieben

[math]a + m \mathbb{Z},[/math]

ist die Äquivalenzklasse von [math]a[/math] bezüglich der Kongruenz modulo [math]m[/math], also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch [math]m[/math] den gleichen Rest wie [math]a[/math] ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen [math]b[/math], die sich aus [math]a[/math] durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von [math]m[/math] ergeben:

[math]a + m \mathbb{Z} = \{ b\mid b=a+km\ \, \mathrm{f\ddot ur\ ein}\ \, k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; (\bmod \; m) \}[/math].

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten [math]0,1,2,\dots,m-1[/math].

Die Menge aller Restklassen modulo [math]m[/math] schreibt man häufig als [math]\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}[/math] oder [math]\mathbb{Z}_m[/math]. Sie hat [math]m[/math] Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn [math]m[/math] eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo [math]m[/math] heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu [math]m[/math] sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten [math](\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times[/math] (oder [math]\mathbb{Z}_m^*[/math]) im Restklassenring [math]\mathbb Z/m\mathbb Z[/math]; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

  • Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 0 modulo [math]m[/math] ist die Menge der Vielfachen von [math]m[/math].
  • Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge [math]\{\ldots-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.[/math]

Verallgemeinerung

Ist [math]A[/math] ein Ring und [math]I\subseteq A[/math] ein Ideal, so heißen Mengen der Form

[math]a+I=\{a+i\mid i\in I\}[/math]

Restklassen modulo [math]I[/math]. Ist [math]A[/math] kommutativ, oder ist [math]I[/math] ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge [math]A/I[/math] der Restklassen modulo [math]I[/math] eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo [math]I[/math]. [math]A/I[/math] wird durch Elemente in [math]A[/math] repräsentiert, wobei die Restklassen [math]a+I[/math] und [math]b+I[/math] in [math]A/I[/math] übereinstimmen, falls [math]a-b \in I[/math] gilt.

Literatur

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

Kategorien: Zahlentheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Restklasse (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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