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Reguläre Matrix


Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären Koeffizientenmatrix stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem Ring oder Körper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt.

Definition

Eine quadratische Matrix [math]A \in R^{n \times n}[/math] mit Einträgen aus einem unitären Ring [math]R[/math] (in der Praxis meist dem Körper der reellen Zahlen) heißt regulär, wenn eine weitere Matrix [math]B \in R^{n \times n}[/math] existiert, sodass

[math]A \cdot B = B \cdot A = I[/math]

gilt, wobei [math]I[/math] die Einheitsmatrix bezeichnet. Die Matrix [math]B[/math] ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt inverse Matrix zu [math]A[/math]. Die Inverse einer Matrix [math]A[/math] wird üblicherweise mit [math]A^{-1}[/math] bezeichnet. Ist [math]R[/math] ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die beiden Bedingungen äquivalent, das heißt eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt.

Beispiele

Die reelle Matrix

[math]A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}[/math]

ist regulär, denn sie besitzt die Inverse

[math]B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}[/math],

mit

[math]A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I[/math].

Die reelle Matrix

[math]A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

ist singulär, denn für eine beliebige Matrix

[math]B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/math]

gilt

[math]A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+3c & 2b+3d \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq I[/math].

Äquivalente Charakterisierungen

Reguläre Matrizen über einem Körper

Eine [math](n\times n)[/math]-Matrix [math]A[/math] mit Einträgen aus einem Körper [math]K[/math], zum Beispiel die reellen oder komplexen Zahlen, ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt eine Matrix [math]B[/math] mit [math]AB=I=BA [/math].
  • Die Determinante von [math]A[/math] ist ungleich null.
  • Die Eigenwerte von [math]A[/math] sind alle ungleich null.
  • Für alle [math]b\in K^n[/math] existiert mindestens eine Lösung [math]x\in K^n[/math] des linearen Gleichungssystems [math]Ax=b[/math].
  • Für alle [math]b\in K^n[/math] existiert höchstens eine Lösung [math]x\in K^n[/math] des linearen Gleichungssystems [math]Ax=b[/math].
  • Das lineare Gleichungssystem [math]Ax=0[/math] besitzt nur die triviale Lösung [math]x=0[/math]
  • Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Zeilenvektoren erzeugen [math]K^n[/math].
  • Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Spaltenvektoren erzeugen [math]K^n[/math].
  • Die durch [math]A[/math] beschriebene lineare Abbildung [math]K^n\to K^n[/math], [math]x\mapsto Ax[/math], ist injektiv.
  • Die durch [math]A[/math] beschriebene lineare Abbildung [math]K^n\to K^n[/math], [math]x\mapsto Ax[/math], ist surjektiv.
  • Die transponierte Matrix [math]A^T[/math] ist invertierbar.
  • Der Rang der Matrix [math]A[/math] ist gleich [math]n[/math].

Reguläre Matrizen über einem unitären kommutativen Ring

Allgemeiner ist eine [math](n\times n)[/math]-Matrix [math]A[/math] mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins [math]R[/math] genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt eine Matrix [math]B[/math] mit [math]AB=I=BA [/math].
  • Die Determinante von [math]A[/math] ist eine Einheit in [math]R[/math] (man spricht auch von einer unimodularen Matrix).
  • Für alle [math]b\in R^n[/math] existiert genau eine Lösung [math]x\in R^n[/math] des linearen Gleichungssystems [math]Ax=b[/math].
  • Für alle [math]b\in R^n[/math] existiert mindestens eine Lösung [math]x\in R^n[/math] des linearen Gleichungssystems [math]Ax=b[/math].
  • Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von [math]R^n[/math].
  • Die Zeilenvektoren erzeugen [math]R^n[/math].
  • Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von [math]R^n[/math].
  • Die Spaltenvektoren erzeugen [math]R^n[/math].
  • Die durch [math]A[/math] beschriebene lineare Abbildung [math]R^n\to R^n[/math], [math]x\mapsto Ax[/math], ist surjektiv (oder gar bijektiv).
  • Die transponierte Matrix [math]A^T[/math] ist invertierbar.

Der wesentliche Unterschied zum Fall eines Körpers ist hier also, dass im Allgemeinen aus der Injektivität einer linearen Abbildung nicht mehr ihre Surjektivität (und damit ihre Bijektivität) folgt, wie bereits das einfache Beispiel [math]\Z \to \Z[/math], [math]x \mapsto 2x[/math] zeigt.

Weitere Beispiele

Die Matrix

[math]A = \begin{pmatrix}3x^3 & x^2 - 1 \\ 3x^2 + 3 & x \end{pmatrix}[/math]

mit Einträgen aus dem Polynomring [math]R = \R[x][/math] hat die Determinante [math]\det A = 3[/math] und [math]3[/math] ist invertierbar in [math]R[/math]. Somit ist [math]A[/math] regulär in [math]R^{2 \times 2}[/math]; die Inverse ist

[math]B = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}x & 1-x^2 \\ -3x^2 -3 & 3x^3 \end{pmatrix}[/math].

Die Matrix

[math]A = \begin{pmatrix} [3] & [7] \\ \left[1\right] & [9] \end{pmatrix}[/math]

mit Einträgen aus dem Restklassenring [math]\Z/12\Z[/math] hat die Determinante [math]\det A = [20] = [8][/math]. Da [math]8[/math] und [math]12[/math] nicht teilerfremd sind, ist [math]\det A[/math] in [math]\Z/12\Z[/math] nicht invertierbar. Daher ist [math]A[/math] nicht regulär.

Eigenschaften

Ist die Matrix [math]A[/math] regulär, so ist auch [math]A^{-1}[/math] regulär mit der Inversen

[math]\left( A^{-1} \right)^{-1} = A[/math].

Sind die beiden Matrizen [math]A[/math] und [math]B[/math] regulär, so ist auch ihr Produkt [math]A \cdot B[/math] regulär mit der Inversen

[math]\left( A \cdot B \right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}[/math].

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet demnach mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe [math]\operatorname{GL}(n,R)[/math]. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Für eine reguläre Matrix [math]A[/math] gelten damit auch die Kürzungsregeln

[math]A \cdot B = A \cdot C \Rightarrow B = C[/math]

und

[math]B \cdot A = C \cdot A \Rightarrow B = C[/math],

wobei [math]B[/math] und [math]C[/math] beliebige Matrizen passender Größe sind.

Weblinks


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