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Raumwinkel


Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum (für die Ebene definierten) Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Definition

Der Raumwinkel [math]\Omega[/math] ist definiert als der Flächeninhalt [math]A[/math] einer Teilfläche einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius [math]r[/math] der Kugel:

[math]\Omega = A / r^2[/math]

Bei Betrachtung der Einheitskugel ([math]r = 1[/math]) ist [math]A[/math] also gleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich [math]4\pi[/math].

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben ist

[math]\Omega =\iint_A \frac{\hat{\vec{n}}\cdot \mathrm{d}\vec{a}}{r^2}[/math].

Dabei ist [math]\hat{\vec{n}}[/math] der Einheitsvektor vom Ursprung, [math]\mathrm{d}\vec{a}[/math] das differentielle Flächenelement und [math]r[/math] dessen Abstand vom Ursprung.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform eine Halbgerade (auch Strahl genannt) mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. (Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.)

Maßeinheiten

Obwohl der Raumwinkel eine dimensionslose Größe ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m2. Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt [math] 4 \pi r^2[/math] hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

[math]\Omega = 4 \pi \approx 12{,}57\ \mathrm{sr}[/math].

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich [math]\left(\tfrac{2\pi}{360}\right)^2[/math] (rund 0,00030462) sr.

Die Verwendung einer Maßeinheit für eine dimensionslose Größe (siehe auch Hilfsmaßeinheit) hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen von Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Der ebene Öffnungswinkel [math]\omega[/math] des Kegels lässt sich in den Raumwinkel umrechnen:

[math]\Omega = 2 \pi \left(1-\cos\frac{\omega}{2}\right) = 4 \pi \sin^2 \frac{\omega}{4}[/math]

Öffnungswinkel [math]\omega[/math] in Grad 0 1 2 5 10 15 30 45 57,2958
Öffnungswinkel [math]\omega[/math] in Radiant 0,0000 0,0175 0,0349 0,0873 0,1745 0,2618 0,5236 0,7854 1,0000
Raumwinkel [math]\Omega[/math] in Quadratgrad 0,00 0,79 3,14 19,63 78,49 176,46 702,83 1570,10 2525,04
Raumwinkel [math]\Omega[/math] in Steradiant 0,0000 0,0002 0,0010 0,0060 0,0239 0,0538 0,2141 0,4783 0,7692
Öffnungswinkel [math]\omega[/math] in Grad 60 65,5411 75 90 120 150 180 270 360
Öffnungswinkel [math]\omega[/math] in Radiant 1,0472 1,1439 1,3090 1,5708 2,0944 2,6180 3,1416 4,7124 6,2832
Raumwinkel [math]\Omega[/math] in Quadratgrad 2763,42 3282,81 4262,39 6041,36 10313,24 15287,95 20626,48 35211,60 41252,96
Raumwinkel [math]\Omega[/math] in Steradiant 0,8418 1,0000 1,2984 1,8403 3,1416 4,6570 6,2832 10,7261 12,5664

Kugeldreieck

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln [math](\alpha + \beta + \gamma - \pi) [/math] Steradiant.

Raumwinkel und Kugelkoordinaten

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel φ1, φ2 und zwei Breitenwinkel γ1, γ2 bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

[math]\Omega = \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int\limits_{\gamma_1}^{\gamma_2} \sin \gamma \, \mathrm{d}\gamma \, \mathrm{d}\varphi[/math]

Oosterom-und-Strackee-Algorithmus

Ein effizienter Algorithmus zur Berechnung des Raumwinkels eines allgemeinen Dreiecks mit Vektoren [math]\vec{r}_1[/math], [math]\vec{r}_2[/math] und [math]\vec{r}_3[/math] – betrachtet vom Ursprung – wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee[1] bewiesen als:

[math]\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{ \mathrm{det} \left( \vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3 \right) } { \| \vec{r}_1 \| \| \vec{r}_2 \| \| \vec{r}_3 \| + \langle \vec{r}_1 , \vec{r}_2 \rangle \| \vec{r}_3 \| + \langle \vec{r}_1 , \vec{r}_3 \rangle \| \vec{r}_2 \| + \langle \vec{r}_2 , \vec{r}_3 \rangle \| \vec{r}_1 \|}[/math].

Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, s. Abbildung. Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht über den Oosterom-und-Strackee-Algorithmus berechnen. Mit der Pyramidengrundfläche [math]w_x[/math] und [math]w_y[/math] sowie der Höhe h ergibt sich:

[math]\Omega = 4 \arctan \frac{w_x \cdot w_y}{2h\cdot \sqrt{4 h^2 + w_x^2 + w_y^2}}[/math]

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel 2φx und 2φy (wobei tan φx = wx/2h und tan φy = wy/2h), so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

[math]\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \varphi_x \sin \varphi_y \right) [/math]
Beispiel 1
Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° ([math]\varphi_x=22{,}5^\circ[/math]) und 20° ([math]\varphi_y=10^\circ[/math]) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.
Beispiel 2
Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Schreibweise

Für den Formelsatz steht das Zeichen »« (TeX \sphericalangle, Unicode U+2222 SPHERICAL ANGLE, keine HTML-Entity) zur Verfügung, das sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren findet. Das Zeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein zum Verwechseln ähnliches Zeichen für den ebenen Winkel üblich.

Weblinks

 Commons: Solid angle  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. A. Van Oosterom, J. Strackee: The Solid Angle of a Plane Triangle. In: Biomedical Engineering, IEEE Transactions on. BME-30, Nr. 2, 1983, S. 125–126, doi:10.1109/TBME.1983.325207 .

Kategorien: Raumgeometrie

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