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Raketengrundgleichung


Die Raketengrundgleichung der Raumfahrtphysik beschreibt eine grundlegende Gesetzmäßigkeit des Raketenantriebs durch kontinuierlichen Ausstoß von Stützmasse. Die Gleichung wurde erstmals 1903 von Konstantin Ziolkowski und unabhängig von ihm später auch von Hermann Oberth und Robert Goddard aufgestellt.

Gleichung

Betrachtet wird eine einstufige Rakete mit Anfangsmasse [math]\,m_0[/math] und Anfangsgeschwindigkeit Null. Das Triebwerk stoße die Stützmasse in infinitesimal kleinen Portionen und mit konstanter Geschwindigkeit [math]\,v_\mathrm{g}[/math] aus. Diese Annahme sowie die Einschränkung auf nichtrelativistische Geschwindigkeiten ist für chemische Antriebe gerechtfertigt, siehe Spezifischer Impuls. Andere Kräfte, wie Gravitation oder Reibung, werden nicht berücksichtigt. Unter diesen Voraussetzungen gilt die Raketengrundgleichung für die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Restmasse [math]\,m[/math] (der um den verbrauchten Treibstoff verkleinerten Anfangsmasse):

[math]v(m) = v_\mathrm{g} \cdot \ln\frac{m_0}{m}[/math]

Herleitung

Die Masse der Rakete habe bereits auf [math]m[/math] abgenommen und ändere sich nun um [math]\mathrm dm \lt 0[/math] als kleine Betrachtungseinheit. Die Stützmasse [math]-\mathrm dm[/math] wird im Bezugssystem der Rakete mit der Geschwindigkeit [math]-v_\mathrm{g}[/math], im System des Beobachters also mit [math]v - v_\mathrm{g}[/math] ausgestoßen und trägt folglich den Impuls [math]-\mathrm dm (v-v_\mathrm{g})[/math]. Da keine äußeren Kräfte wirken, ist der Gesamtimpuls von Rakete und Stützmasse erhalten:

[math]\mathrm dp = \underbrace{\mathrm d(mv)}_{\text{Rakete}} + \underbrace{(-\mathrm dm) (v - v_\mathrm{g})}_{\text{Stützmasse}} = \mathrm dm\cdot v + m\cdot \mathrm dv - \mathrm dm \cdot v + \mathrm dm \cdot v_\mathrm{g} =m\cdot\mathrm dv + \mathrm dm\cdot v_\mathrm{g} = 0[/math]

und damit

[math]\mathrm dv = -v_\mathrm{g} \frac{\mathrm dm}{m} \, .[/math]

Diese Differentialgleichung wird nun unbestimmt integriert. Integration der linken Seite ergibt [math]\,v[/math] (eine Stammfunktion von [math]\,f(v)=1[/math]). Auf der rechten Seite muss nur über [math]-\frac{\mathrm dm}{m}[/math] integriert werden, da [math]\,v_\mathrm{g}[/math] als konstant vorausgesetzt wurde. Es ergibt sich als Integral [math]\,-\ln m + C[/math]. Das Minuszeichen wird durch den Kehrwert im Logarithmus ersetzt, die additive Konstante C durch einen Faktor C', also:

[math]\,v = v_\mathrm{g} \ln\frac{C'}{m}[/math].

Die Anfangsbedingung [math]\,v(m=m_0) = 0[/math] wird erfüllt durch [math]\,C' = m_0[/math], also

[math]\,v(m) = v_\mathrm{g} \ln\frac{m_0}{m}[/math].

Konsequenz

Die Endgeschwindigkeit, wenn die gesamte Treibstoffmasse [math]\,m_\mathrm{T}[/math] ausgestoßen ist, beträgt

[math]v_\mathrm{End} = v(m_\mathrm{End}) = v_\mathrm{g} \ln\frac{m_0}{m_\mathrm{End}}[/math],

ist also umso größer, je größer die Austrittsgeschwindigkeit [math]\,v_\mathrm{g}[/math] ist und je kleiner die Restmasse [math]\,m_\mathrm{End}[/math], die aus der Nutzlast, dem Triebwerk und Strukturmaterial besteht.

Bemerkenswert ist, dass Endgeschwindigkeiten größer als [math]\,v_\mathrm{g}[/math] erreichbar sind. Um jedoch Geschwindigkeiten weit jenseits [math]\,v_\mathrm{g}[/math] zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur (leere Tanks) oder auch des Triebwerks (Booster) zurückgelassen, siehe Mehrstufenrakete. Übersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen, wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen.

Beispiel

Es sei eine zweistufige Rakete angenommen, deren Stufen eine Masse von 100 bzw. 20 haben (in willkürlichen Einheiten) und zu jeweils 90 % aus Treibstoff bestehen, also Strukturmassen von 10 bzw. 2 haben. Die Nutzlast betrage ebenfalls 2 Einheiten. Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet, wobei sich die Beiträge beider Stufen addieren (das sieht man, wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das Bezugssystem wechselt, in dem die zweite Stufe anfangs ruht):

[math]\frac{v_\mathrm{End}}{v_\mathrm{g}} = \ln\frac{100+20+2}{10+20+2} + \ln\frac{20+2}{2+2} \approx 1{,}34 + 1{,}70 = 3{,}04[/math].

Zum Vergleich die einstufige Rakete mit gleicher Treibstoff- und Strukturmasse:

[math]\frac{v_\mathrm{End}}{v_\mathrm{g}} = \ln\frac{100+20+2}{10+2+2} \approx 2{,}16[/math].

Einschränkungen

Der Einfluss der Gravitation wird bei der Raketengrundgleichung nicht berücksichtigt. Für vertikale Raketenstarts, geringe Steighöhen und unter Vernachlässigung des Luftwiderstands gilt

[math]v_\mathrm{End} = v_\mathrm{g} \ln\frac{m_0}{m_\mathrm{End}}-g\, \Delta t[/math]

mit der Fallbeschleunigung [math]\!\,g[/math] und der Brenndauer [math]\,\Delta t[/math]. Diese Formel ist jedoch ungeeignet, das Erreichen der Erdumlaufbahn zu optimieren, denn dabei ändert sich neben der Fallbeschleunigung auch der Schubvektor kontinuierlich.

Weblinks


Kategorien: Raumfahrtphysik | Raketentechnik | Klassische Mechanik

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