Radikal (Mathematik) - LinkFang.de





Radikal (Mathematik)


In der mathematischen Disziplin der Algebra gibt es verschiedene Bedeutungen des Wortes Radikal.

In der Ringtheorie

Primradikal

Es sei [math]R[/math] ein Ring mit Einselement. Der Durchschnitt über alle Primideale von [math]R[/math] heißt das Primradikal von [math]R[/math]. Es ist das kleinste Semiprimideal und ein Nilideal.

Im Fall eines kommutativen Ringes stimmt es mit dem Nilradikal (s. u.) überein.

Kommutativer Fall: Radikal eines Ideales und Nilradikal

Es sei [math]R[/math] ein kommutativer Ring mit [math]1[/math] und [math]\mathfrak{a} \subset R[/math] ein Ideal in [math]R[/math]. Dann bezeichnet man mit

[math]\sqrt{\mathfrak{a}} := \{x \in R \mid \exists r \in \Bbb N: x^r \in \mathfrak{a}\}[/math]

das Radikal von [math]\mathfrak{a}[/math]. Teilweise wird dieses auch mit [math]r(\mathfrak a)[/math] oder mit [math]\mathfrak r (\mathfrak a)[/math] bezeichnet.[1] Es ist ein Ideal in [math]R[/math].

Ein Ideal, das mit seinem Radikal identisch ist, nennt man Radikalideal. Jedes Semiprimideal ist ein Radikalideal.

Das Nilradikal oder nilpotente Radikal eines Ringes R ist [math]\sqrt{(0)}[/math], also die Menge der nilpotenten Elemente des Ringes. Teilweise wird es auch mit [math]\operatorname{nil}(R)[/math] oder mit [math] \mathfrak N_R[/math] bzw. mit [math] \mathfrak n_R[/math] bezeichnet.[2][3] Es ist gleich dem Primradikal, also dem Schnitt aller Primideale. Ist das Nilradikal das Nullideal, d. h. ist die Null das einzige nilpotente Element, so heißt der Ring reduziert.

Jacobson-Radikal

Der Schnitt aller maximalen Linksideale eines Ringes wird als Jacobson-Radikal bezeichnet.

Auflösung eines Polynoms durch Radikale

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich mit der Auflösung von Polynomen in Radikale, also in Faktoren [math]x-a[/math], wobei [math]a[/math] einen Ausdruck beschreibt, der lediglich durch rationale Zahlen, mittels der vier Grundrechenarten sowie unter Verwendung von Wurzeln darstellbar sein muss.

In der Gruppentheorie

Das Radikal einer Gruppe ist der größte auflösbare Normalteiler.

In der Zahlentheorie

Das Radikal einer ganzen Zahl ist das Produkt ihrer unterschiedlichen Primfaktoren; dies ist eine multiplikative Funktion:

[math]\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prim}}p[/math]

Das Radikal einer Primzahl ist die Primzahl selbst. Da gleiche Primfaktoren nur einmal gewertet werden, haben alle Potenzen einer Zahl das gleiche Radikal.

Beispiel: Die Zahl 324 hat das Radikal 6, da

[math]\mathrm{rad}(324)=\mathrm{rad}(2^2 \cdot 3^4)=2 \cdot 3 =6 [/math].

Die Radikale der ersten natürlichen Zahlen lauten: 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13 … (Folge A007947 in OEIS )

Eine wichtige Bedeutung spielen Radikale in der abc-Vermutung.

In der Theorie der Lie-Algebren

Das Radikal einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra ist das größte auflösbare Ideal.

In der Theorie der algebraischen Gruppen

Das unipotente Radikal einer algebraischen Gruppe ist ein maximaler abgeschlossener, zusammenhängender und unipotenter Normalteiler.

In der Projektiven Geometrie

Das Radikal einer quadratischen Menge oder spezieller einer projektiven Quadrik ist die Menge der Punkte dieser Menge bzw. Quadrik, in denen der Tangentialraum aus allen Punkte des Gesamtraums besteht.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 8
  2. Isaacs: Algebra, a graduate course. S. 420
  3. Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 5

Kategorien: Algebra | Gruppentheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Radikal (Mathematik) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.