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Quadratische Funktion


Dieser Artikel behandelt quadratische Funktionen mit einer Variablen. Für quadratische Funktionen mit mehreren Variablen siehe quadratische Form.

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion zweiten Grades oder Polynom zweiten Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form

[math]f(x) = a x^2 + b x + c[/math] mit [math]a \ne 0[/math]

ist. Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung [math]y = a x^2 + b x + c[/math]. Für [math]a=0[/math] ergibt sich eine lineare Funktion.

Die allgemeine quadratische Funktion

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist [math]x \mapsto a x^2 + b x + c[/math]. Ist [math]a = 1, b = 0[/math] und [math]c = 0[/math] so erhält man die Quadratfunktion [math]x \mapsto x^2[/math]. Ihr Graph ist die Normalparabel. Die Koeffizienten [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen.

Parameter a

Wie der Wert von [math]a[/math] die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man [math]b = 0[/math] und [math]c = 0[/math] setzt. Man erhält dann eine gestreckte oder gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Normalparabel.

[math]a \gt 0[/math]: Der Graph ist nach oben geöffnet.
[math]a \lt 0[/math]: Der Graph ist nach unten geöffnet.
[math]|a| \lt 1 [/math]: Der Graph ist in Richtung der y-Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
[math]|a| \gt 1 [/math]: Der Graph ist in Richtung der y-Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für [math]a=-1[/math]: ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Parameter c

Eine Veränderung des Parameters [math]c[/math] bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Wird [math]c[/math] um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird [math]c[/math] um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Parameter b

Der Parameter [math]b[/math] gibt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der y-Achse an. Insbesondere kann man am Vorzeichen von [math]b[/math] erkennen, ob die y-Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Hieraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.

Eine Veränderung des Parameters [math]b[/math] bewirkt eine Verschiebung sowohl in x- als auch in y-Richtung. Wird [math]b[/math] um eins erhöht, dann wird der Graph um [math]1/2a[/math] Einheiten nach links und [math](2b+1)/4a[/math] nach unten verschoben. Wird [math]b[/math] um eins verringert, wird der Graph dagegen um [math]1/2a[/math] Einheiten nach rechts und [math](2b-1)/4a[/math] nach oben verschoben.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum (falls [math]a[/math] positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn [math]a[/math] negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in der Scheitelpunktform vorliegt:

[math]f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 + y_s[/math].

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten [math]S(x_s | y_s)[/math]. Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallele zur y-Achse durch [math]x_s[/math]. Die Scheitelpunktform kann aus der Darstellung [math]f(x) = a x^2 + b x + c[/math] durch quadratische Ergänzung bestimmt werden.

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den x-Wert des Scheitelpunktes:

[math]f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \,[/math],
[math]f'(x_s) = 0 \Leftrightarrow 2ax_s+b=0 \Leftrightarrow x_s=\frac{-b}{2a}.[/math]

Durch Einsetzen ergibt sich der y-Wert:

[math] y_s=f(x_s)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c=\frac{4ac-b^2}{4a}. [/math]
Beispiel

Bestimmung des Scheitelpunkts aus der quadratischen Funktion [math]f(x) = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5 [/math].

  • Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion
[math]y = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5 [/math] Die ursprüngliche Funktionsgleichung
[math]y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x \right) + 5[/math] Der Faktor [math]a[/math] vor dem [math]x^2[/math] wurde ausgeklammert, wobei das konstante Glied + 5 ausgeschlossen bleibt.
[math]y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x + 1 - 1 \right) + 5[/math] Es wird eine quadratische Ergänzung zu [math]x^2 + 2x[/math] durchgeführt.
[math]y = 2 \cdot \left( \left( x + 1 \right) ^2 - 1 \right) + 5[/math] Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich, mithilfe der binomischen Formeln aus einem Teil des Terms ein Quadrat herauszuziehen.
[math]y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 - 2 + 5[/math] Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen.
[math]y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 + 3[/math] In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt [math]S({-}1 | 3)[/math] ablesen.
[math]f(x) = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5 [/math] Die ursprüngliche Funktionsgleichung
[math]f'(x) = 4 \cdot x + 4 [/math] Die 1. Ableitung der Funktion
[math]4 \cdot x + 4 = 0 \Rightarrow x=-1[/math] Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung durch Gleichsetzen mit null
[math]y = f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 [/math] x einsetzen in f(x)
[math]\Rightarrow y=3[/math] y berechnen
Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten [math]S(-1 | 3)[/math].

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung [math]f(x)=0[/math], das heißt der quadratischen Gleichung

[math]ax^2 + bx + c = 0[/math].

Diese lassen sich mit Hilfe der abc-Formel berechnen:

[math] x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

Nimmt der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) einen negativen Wert an, so bedeutet dies, dass keine (reellen) Nullstellen existieren.

Weitere Eigenschaften quadratischer Funktionen

Achsenschnittpunkte

Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist
[math]P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)[/math]
Der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse ist
[math]P_{x_i}(x_i|0)\Rightarrow f(x_i) = 0[/math] für i = 1 ; 2

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen [math]x_1,\ x_2[/math] der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

[math]x_s=\frac{x_1+x_2} {2} , \quad y_s = f(x_s) = -\frac{a}{4}(x_2 - x_1)^2[/math].

p-q-Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: [math]x^2+px+q=0[/math]

p-q-Formel:
[math]x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}[/math]
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: [math]D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q[/math]
Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :[math]x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}[/math]
Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
[math]D \gt 0 \Rightarrow L = \{x_1 ; x_2\}[/math] zwei Lösungselemente
[math]D = 0 \Rightarrow L = \{x\}[/math] ein Lösungselement (Doppellösung)
[math]D \lt 0 \Rightarrow L = \{ \}[/math] kein Lösungselement

Der Satz von Vieta

Sind [math]x_1, x_2\,[/math] die Lösungen der quadratischen Gleichung [math]x^2+px+q=0[/math], so gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta [math]x_1 + x_2 = -p \,[/math] und [math]x_1\cdot x_2=q[/math].

Nullstellen und Linearfaktoren

Sind [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] die Nullstellen der quadratischen Funktion [math]f(x)=a x^2 + b x + c[/math], so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

[math]f(x) = a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)[/math]

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

[math]f(x)[/math] sei die Funktionsgleichung einer Parabel und [math]g(x)[/math] die einer Geraden. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen [math]f(x)=g(x)\Rightarrow[/math] quadratische Gleichung. Falls nun:

[math]D\gt0:\Rightarrow[/math] Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten (Sekante).
[math]D=0:\Rightarrow[/math] Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt (Tangente).
[math]D\lt0:\Rightarrow[/math] Die Parabel und die Gerade haben keinen Schnittpunkt (Passante).

Schnittpunkt zweier Parabeln

[math]f(x);\,g(x)[/math] seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen [math]f(x)=g(x)\Rightarrow [/math] quadratische Gleichung. Falls nun:

[math]D\gt0:\Rightarrow[/math] Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
[math]D=0:\Rightarrow[/math] Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
[math]D\lt0:\Rightarrow[/math] Die Parabeln haben keinen Schnittpunkt.
[math]f(x)-g(x)[/math] ist eine lineare Gleichung [math]\Rightarrow\,[/math] Die Parabeln haben einen Schnittpunkt.

Weblinks


Kategorien: Mathematische Funktion

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