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Quadrat


Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Quadrat (Begriffsklärung) aufgeführt.

In der Geometrie ist ein Quadrat (veraltet auch Geviert) ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonale.

Quadrate sind die Begrenzungsflächen eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem ein Stein einer regulären Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften

Für das Quadrat gilt:

Formelsammlung

Größen eines Quadrats mit der Seitenlänge a 
Umfang [math]u = \, 4 \cdot a[/math]
Zentriwinkel [math] \alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ [/math]
Innenwinkel [math] \delta = 180^\circ - \alpha = 90^\circ [/math]
Inkreisradius [math]r_i = \frac{1}{2} a [/math]
Umkreisradius [math]r_u = a \, \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{d}{2}[/math]
Diagonalenlänge [math]d = \, a \cdot \sqrt{2} = 2 r_u[/math]
Flächeninhalt [math]A = a^2 = \frac{d^2}{2}[/math]

Konstruktion eines Quadrats

Ein Quadrat bei dem z. B. die Seitenlänge oder die Diagonale gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Verallgemeinerungen

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

Weblinks

 Wiktionary: Quadrat – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Quadrate  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Quadrat – Lern- und Lehrmaterialien

Kategorien: Synthetische Geometrie | Vierecksgeometrie | Viereck

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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