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Pyramidenstumpf


Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.

Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grund- und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

[math]V = \frac{h}{3} (A_\text{1} + \sqrt{A_\text{1} \cdot A_\text{2}} + A_\text{2})[/math]

Dabei stehen A1 für die Grundfläche, A2 für die Deckfläche und h für die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Für die Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Sie kann bei sehr schiefen Pyramiden und Pyramidenstümpfen beliebig groß werden.

Beweise

Volumen

Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden [math]h_1[/math] als Höhe der Ausgangspyramide und [math]h_2[/math] als Höhe der Ergänzungspyramide definiert. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass

[math]\frac{h_1}{h_2} = k[/math] und daher auch [math]\frac{A_1}{A_2} = k^2[/math].

Dabei ist [math]k[/math] ist der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

[math]V = V_1 - V_2 = \frac{1}{3} h_1\cdot A_1 - \frac{1}{3} h_2\cdot A_2[/math].

Aus [math]\frac{h_1}{h_2} = k[/math] und [math]\frac{A_1}{A_2} = k^2[/math] folgt [math]\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{A_1}}{\sqrt{A_2}}[/math].

Die Substitution [math]\lambda = \frac{h_2}{\sqrt{A_2}}[/math] ergibt [math]h_2 = \lambda \cdot \sqrt{A_2}[/math] und [math]h_1 = \lambda \cdot \sqrt{A_1}[/math].

Damit kann man das Volumen umschreiben:

[math]V = \frac{\lambda \cdot \sqrt{A_1} \cdot A_1}{3} - \frac{\lambda \cdot \sqrt{A_2} \cdot A_2}{3} = \frac{\lambda \cdot ({A_1}^{3/2} - {A_2}^{3/2})}{3}[/math].

Mit Hilfe der Formel [math] a^3 - b^3 = (a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2)[/math] angewendet auf [math]a = \sqrt{A_1}[/math] und [math]b = \sqrt{A_2}[/math] ist das Volumen

[math]V = \frac{\lambda}{3} (\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} )(\sqrt{A_1}^2 + \sqrt{A_1} \sqrt{A_2} + \sqrt{A_2}^2)[/math]

oder einfacher

[math]V = \frac{\lambda}{3} (\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} )(A_1 + \sqrt{A_1} \sqrt{A_2} + A_2)[/math].

Der Faktor [math]\lambda \cdot (\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} )[/math] ist die Höhe [math]h[/math]:

[math]\lambda \cdot (\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} ) = \lambda \cdot \sqrt{A_1} - \lambda \cdot \sqrt{A_2} = h_1 - \frac{h_2}{\sqrt{A_2}}\cdot \sqrt{A_2} = h[/math].

Daraus ergibt sich

[math]V = \frac{h}{3} (A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2)[/math].

Entartungen

  • Streben Grundfläche und Deckfläche gegen einen Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe Volumenformel gilt.
  • Strebt A2 gegen A1, erhält man ein Prisma, dessen Volumenformel sich durch A1 = A2 = A entsprechend vereinfacht.
  • Strebt A2 gegen 0, erhält man eine Pyramide.

Quellen

Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.

Weblinks

 Commons: Pyramidenstumpf  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Pyramidenstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kategorien: Polyeder

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