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Produkt (Kategorientheorie)



Produkt in der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten [math]\{ A_i \,|\, i\in I \}[/math] ein Paar [math](P, \{ \mbox{pr}_i \,|\, i\in I \})[/math], wobei

  • P ein Objekt ist,
  • [math]\mbox{pr}_i[/math] ein Morphismus (genannt Projektion) von P nach [math]A_i[/math] ist (für jedes i aus I),
  • und für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen [math]f_i[/math] von C nach [math]A_i[/math] es genau einen Morphismus f von C nach P gibt mit [math]f_i = \mbox{pr}_i \circ f[/math].

Dieses Produkt wird also über eine so genannte universelle Eigenschaft definiert und ist lediglich bis auf natürliche Isomorphie eindeutig.

Diese sehr allgemeine Definition enthält viele andere in der Mathematik auftretende Definitionen des Begriffs Produkt, und darüber hinaus weitere:

  1. In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt.
  2. In der Kategorie Top der topologischen Räume mit stetigen Funktionen entspricht obige Definition der des topologischen Produkts: das kartesische Produkt, versehen mit der gröbsten Topologie, bei der alle Projektionen [math]\mbox{pr}_i[/math] noch stetig sind.
  3. In der Kategorie Grp der Gruppen, und anderen Kategorien algebraischer Strukturen wie der Kategorie der Ringe oder der der Vektorräume entspricht obige Definition dem direkten Produkt: das kartesische Produkt, versehen mit komponentenweisen Verknüpfungen.
  4. Ist [math](A, \leq)[/math] eine Quasiordnung und [math]K[/math] die Kategorie, welche die Elemente von [math]A[/math] als Objekte hat und in der genau ein Morphismus [math]f\colon a\to b[/math] genau dann existiert, wenn [math]a\leq b[/math], dann sind Produkte in [math]K[/math] Infima.

Der duale Begriff ist der des Koprodukts.

Beispiele

Kategorie Produkt
Mengen Kartesisches Produkt
Gruppen direktes Produkt
Abelsche Gruppen
Vektorräume
Moduln über einem Ring
(Quasi-)projektive Varietäten zugehörige Segre Varietät
topologische Räume Produkttopologie
Kompakte Hausdorffräume
Banachräume (mit linearen Kontraktionen als Morphismen) Abzählbare Linearkombinationen mit [math]\ell^\infty[/math], das heißt absolut beschränkten, Koeffizienten, mit dem gewichteten Supremum der Normen als Norm
Partielle Ordnung Infimum

Für abelsche Gruppen, Moduln, Vektorräume und Banachräume stimmen die endlichen Produkte mit den endlichen Koprodukten überein. Man spricht dann von einem Biprodukt. Ihre Existenz wird bei der Definition abelscher Kategorien gefordert (insbesondere bilden abelsche Gruppen, Moduln über einem Ring oder Vektorräume über einem Körper abelsche Kategorien).

Literatur

  • Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2. Hanser Verlag, München 1976, ISBN 3-446-12172-2 (Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure), siehe Kapitel 10: Kategorien.

Kategorien: Kategorientheorie

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