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Der Primzahlsatz erlaubt eine Abschätzung der Verteilung der Primzahlen mittels Logarithmen. Der Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen wurde bereits von dem 15-jährigen Carl Friedrich Gauß 1793 und unabhängig von ihm durch Adrien-Marie Legendre 1798 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen.

Die Primzahlfunktion

Im Weiteren sei [math]\pi(x)[/math] die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen [math]x[/math] definiert ist als die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als [math]x[/math] sind. Formal kann man schreiben:

[math]\pi (x) = \left | \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\} \right |[/math]

Dabei bezeichnet das Symbol [math]\mathbb{P}[/math] die Menge der Primzahlen, die Schreibweise [math]\left | M \right |[/math] steht für die Anzahl der Elemente der Menge [math]M.[/math]

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt:

[math]\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1[/math]

Nennt man zwei reelle Funktionen [math]f[/math] und [math]g[/math] asymptotisch äquivalent, wenn der Quotient [math]f(x)/g(x)[/math] für [math]x\to\infty[/math] gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren:

Die Funktionen [math]\pi(x)[/math] und [math]x/{\ln(x)}[/math] sind asymptotisch äquivalent.

Stärkere Formen des Primzahlsatzes

Bessere Approximationen als [math]x/{\ln(x)}[/math] liefert der sogenannte Integrallogarithmus

[math]\mathrm{Li}(x):=\int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.[/math]

Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt, weil die Stammfunktionen von 1/ln(x) nicht elementar sind.

Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu [math]x/{\ln(x)},[/math] also auch zu [math]\pi(x).[/math]

Man kann sogar zeigen:

[math]\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O \left(x \cdot \exp(-C(\ln(x))^{3/5}(\ln\ln(x))^{-1/5})\right)[/math]

mit einer positiven Konstanten [math]C.[/math] Dabei ist [math]O(\cdot)[/math] ein Landau-Symbol, d. h., es gibt eine Konstante [math]D,[/math] sodass

[math]\Big|\pi(x)-\mathrm{Li}(x) \Big| \ \lt\ D\cdot x \cdot \exp \left(-C(\ln(x))^{3/5}(\ln\ln(x))^{-1/5} \right)[/math]

für alle [math]x[/math] gilt. Unter Annahme der Riemannschen Vermutung, und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu

[math]\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O \left(\sqrt{x} \cdot \ln(x) \right)[/math]

verbessern.

Geschichte

Adrien-Marie Legendre veröffentlichte 1798 als erster in seiner Théorie des nombres (Abhandlung über Zahlentheorie) unabhängig von Gauß^[1] den vermuteten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen. In der zweiten Auflage dieses Werks 1808 verbesserte er die Abschätzung von [math]\pi(x)[/math] zu ungefähr gleich^[2]

[math]\frac{x}{\ln(x) - 1{,}08366}[/math]

(wo dieser Wert 1,08366 verantwortlich für das Problem der Existenz der Legendre-Konstanten ist). Ein erster Schritt hin zu einem Beweis gelang Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, der 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes zeigte:^[3]

[math]0{,}92929 \le \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1{,}1056[/math]

für alle hinreichend großen [math]x.[/math] Das heißt, dass die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe um nicht mehr als ungefähr 10 % nach oben oder unten von der logarithmischen Funktion [math]\frac{x}{\ln(x)}[/math] abweicht.

Der englische Mathematiker James Joseph Sylvester, damals Professor an der amerikanischen Johns Hopkins University in Baltimore, verfeinerte 1892 Tschebyschows Methode und zeigte, dass für die Ungleichung bei hinreichend großem x die untere Grenze 0,95695 und die obere Grenze 1,04423 genügt,^[4] die Abweichung also maximal nur mehr ungefähr 5 % beträgt.

In seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859) hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion gezeigt.^[5] Der deutsche Mathematiker Hans von Mangoldt bewies 1895 das Hauptresultat der Riemannschen Arbeit, dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil 1 hat.^[6] Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen.^[7][8] Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht „elementar“, sondern verwenden funktionentheoretische Methoden. Lange Jahre galt ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für unmöglich, was 1949 durch die von Atle Selberg und Paul Erdős gefundenen Beweise widerlegt wurde (wobei „elementar“ hier keineswegs „einfach“ bedeutet).^[9][10] Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.

Zahlenbeispiele

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte der Primzahlfunktion im Vergleich mit den Logarithmen, Legendres Formel und dem Integrallogarithmus.^[11][12]

x	π(x) (Folge A006880 in OEIS )	π(x)/x	x/ln(x) ~	π(x)·ln(x)/x	Legendre ~	Li(x) ~
10	4	0,400000	4	0,921034	8	6
102	25	0,250000	22	1,151293	28	30
103	168	0,168000	145	1,160503	172	178
104	1.229	0,122900	1.086	1,131951	1.231	1.246
105	9.592	0,095920	8.686	1,104320	9.588	9.630
106	78.498	0,078498	72.382	1,084490	78.543	78.628
107	664.579	0,066458	620.421	1,071175	665.140	664.918
108	5.761.455	0,057615	5.428.681	1,061299	5.768.004	5.762.209
109	50.847.534	0,050848	48.254.942	1,053727	50.917.519	50.849.235
1010	455.052.511	0,045505	434.294.482	1,047797	455.743.004	455.055.615
1011	4.118.054.813	0,041181	3.948.131.654	1,043039	4.124.599.869	4.118.066.401
1012	37.607.912.018	0,037608	36.191.206.825	1,039145	37.668.527.415	37.607.950.281
1013	346.065.536.839	0,034607	334.072.678.387	1,035899	346.621.096.885	346.065.645.810
1014	3.204.941.750.802	0,032049	3.102.103.442.166	1,033151	3.210.012.022.164	3.204.942.065.692
1015	29.844.570.422.669	0,029845	28.952.965.460.217	1,030795	29.890.794.226.982	29.844.571.475.288
1016	279.238.341.033.925	0,027924	271.434.051.189.532	1,028752	279.660.033.612.131	279.238.344.248.557
1017	2.623.557.157.654.233	0,026236	2.554.673.422.960.305	1,026964	2.627.410.589.445.923	2.623.557.165.610.822
1018	24.739.954.287.740.860	0,024740	24.127.471.216.847.324	1,025385	24.775.244.142.175.635	24.739.954.309.690.415
1019	234.057.667.276.344.607	0,023406	228.576.043.106.974.646	1,023982	234.381.646.366.460.804	234.057.667.376.222.382
1020	2.220.819.602.560.918.840	0,022208	2.171.472.409.516.259.138	1,022725	2.223.801.523.570.829.204	2.220.819.602.783.663.484
1021	21.127.269.486.018.731.928	0,021127	20.680.689.614.440.563.221	1,021594	21.154.786.057.670.023.133	21.127.269.486.616.126.182
1022	201.467.286.689.315.906.290	0,020147	197.406.582.683.296.285.296	1,020570	201.721.849.105.666.574.218	201.467.286.691.248.261.498
1023	1.925.320.391.606.803.968.923	0,019253	1.888.236.877.840.225.337.614	1,019639	1.927.681.221.597.738.628.080	1.925.320.391.614.054.155.139
1024	18.435.599.767.349.200.867.866	0,018436	18.095.603.412.635.492.818.797	1,018789	18.457.546.327.619.878.007.916	18.435.599.767.366.347.775.144
1025	176.846.309.399.143.769.411.680	0.017685	173.717.792.761.300.731.060.452	1,018009	177.050.792.039.110.236.839.710	176.846.309.399.198.930.392.619
1026	1.699.246.750.872.437.141.327.603	0.016992	1.670.363.391.935.583.952.504.342	1.017292	1.701.156.120.834.278.630.173.694	1.699.246.750.872.593.033.005.724

Die Größe [math]\pi(x)/x[/math] heißt Primzahldichte.

Vergleicht man [math]\mathrm{Li}(x)[/math] mit den Werten von [math]\pi(x)[/math] in der Tabelle, scheint es so, als ob stets [math]\mathrm{Li}(x)\gt\pi(x)[/math] gelten würde. Tatsächlich wechselt die Differenz [math]\mathrm{Li}(x) - \pi(x)[/math] bei größer werdendem [math]x[/math] das Vorzeichen unendlich oft, wie J. E. Littlewood 1914 zeigen konnte.^[13] Die gaußsche Formel unterschätzt also die Anzahl der Primzahlen in einem hinreichend großen Zahlenbereich, den Stanley Skewes 1933 mit der nach ihm benannten Skewes-Zahl nach oben abschätzen konnte.^[14] Russell Sherman Lehman stellte 1966 einen wichtigen Satz über die obere Grenze auf und konnte sie auf eine „handhabbare“ Größe von 1,165·10¹¹⁶⁵ drücken.^[15] Unter Verwendung des Lehmanschen Satzes gelang es dem niederländischen Mathematiker Herman te Riele 1986 zu zeigen, dass es zwischen 6,627·10³⁷⁰ und 6,687·10³⁷⁰ mehr als 10¹⁸⁰ aufeinanderfolgende Zahlen x gibt, für die [math]\pi(x) \gt \mathrm{Li}(x)[/math] gilt.^[16] Den derzeit besten untersten Wert, ebenfalls ausgehend von den Ergebnissen Lehmans, ermittelten im Jahr 2000 die beiden Mathematiker Carter Bays und Richard Hudson, die zeigten, dass ein solcher von Littlewood bewiesener Wechsel vor 1,398244·10³¹⁶ auftritt.^[17] Obwohl sie dies nicht beweisen konnten, legen ihre Berechnungen nahe, dass sie tatsächlich den ersten Vorzeichenwechsel gefunden haben. Genauer vermuten sie, dass die Ungleichung [math]\pi(x)\lt\mathrm{Li}(x)[/math] für x < 1,398·10³¹⁶ immer gilt.

Literatur

• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000. ISBN 3-540-67641-4.
• G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1979. ISBN 0-19-853171-0.

Weblinks

• Beweis des Primzahlsatzes im Beweisarchiv
• Chris K. Caldwell: How many primes are there?  (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Dieser hatte sich 1792 oder 1793 mit dem Thema beschäftigt, siehe den Brief  aus dem Jahr 1849 an Johann Franz Encke. Dort diskutiert er auch die Konstante von Legendre und den Integrallogarithmus.
2. ↑ Vgl. Adrien-Marie Legendre: Théorie des nombres.  3. Auflage. Didot, Paris 1830, Bd. 2, S. 65–70 (D’une loi très-remarquable observée dans l’énumération des nombres premiers).
3. ↑ Pafnuti Lwowitsch Tschebyschew: Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. In: Mémoires présentés à l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg par divers savants, 6, 1851, S. 141–157. Auch in: Journal de mathématiques pures et appliquées, 1. F., 17, 1852, S. 341–365. Nachdruck in Andrej Andrejewitsch Markoff, Nikolai Jakowlewitsch Sonin (Hrsg.): Œuvres de P. L. Tchebychef.  Bd. 1. St. Petersburg: Akademie, 1898, S. 27–48.
4. ↑ James Joseph Sylvester: On arithmetical series. In: Messenger of Mathematics, 21, 1892, S. 1–19, 87–120. Nachdruck in Henry Frederick Baker (Hrsg.): The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester. 4 Bände. University Press, Cambridge 1904–1912, Bd. 4 (1912) , S. 687–731.
5. ↑ Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, S. 671–680. Vgl. auch Wilhelm Scheibner: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer beliebigen Grenze.  In: Archiv der Mathematik und Physik, 5, 1860, S. 233–252.
6. ↑ Hans von Mangoldt: Zu Riemanns Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“.  In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 114, 1895, S. 255–305.
7. ↑ Jacques Hadamard: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques.  (PDF; 1,3 MB). In: Bulletin de la Société Mathématique de France, 24, 1896, S. 199–220.
8. ↑ Charles de La Vallée Poussin: Recherches analytiques de la théorie des nombres premiers. In: Annales de la Société Scientifique de Bruxelles 20 B (1896), S. 183–256, 281–352, 363–397; 21 B (1897), S. 351–368.
9. ↑ Atle Selberg: An elementary proof of the prime-number theorem.  In: Annals of Mathematics, 50, 1949, Nr. 2, S. 305–313.
10. ↑ Paul Erdős: On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem.  (PDF; 687 kB). In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 35, 1949, S. 374–384.
11. ↑ Die Werte für π(x) sind aus Chris K. Caldwell: How Many Primes Are There?  Prime Pages, abgerufen am 12. Dezember 2015 (english). 
12. ↑ Der Wert für π(10²⁶) ist aus D. B. Staple: The combinatorial algorithm for computing pi(x).  Dalhousie University, abgerufen am 12. Dezember 2015 (english). 
13. ↑ John E. Littlewood: Sur la distribution des nombres premiers. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 158 (1914), S. 1869–1872.
14. ↑ Stanley Skewes: On the difference π(x) − Li(x). In: Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), S. 277–283; On the difference π(x) − Li(x) (II). In: Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), S. 48–70.
15. ↑ Russell Sherman Lehman: On the difference π(x) − li(x).  (PDF; 2,6 MB). In: Acta Arithmetica 11 (1966), S. 397–410.
16. ↑ Herman J. J. te Riele: On the Sign of the Difference π(x) − li(x).  (PDF; 550 kB). In: Mathematics of Computation, 48, 1987, S. 323–328. Vgl. Chris K. Caldwell: How many primes are there?  Kap. 3, History of the Prime Number Theorem.
17. ↑ Carter Bays, Richard H. Hudson: A new bound for the smallest x with π(x) > li(x).  (PDF; 422 kB). In: Mathematics of Computation, 69, 2000, Nr. 231, S. 1285–1296.

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