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Primideal


In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei [math]R[/math] ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal [math]\mathfrak{p} \subseteq R[/math] Primideal oder prim, falls [math]\mathfrak{p}[/math] echt ist, also [math]\mathfrak{p} \neq R[/math], und wenn für alle Ideale [math]\mathfrak{a, b} \subseteq R[/math] gilt:[1]

Aus [math]\mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p}[/math] folgt [math]\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}[/math] oder [math]\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.[/math]

Außerdem heißt [math]\mathfrak{p}[/math] vollständiges Primideal oder vollprim, falls [math]\mathfrak{p}[/math] echt ist und wenn für alle [math]a, b \in R[/math] gilt:

Aus [math]ab \in \mathfrak{p}[/math] folgt [math]a \in \mathfrak{p}[/math] oder [math]b \in \mathfrak{p}.[/math]

Äquivalente Definitionen

  • Ein zweiseitiges Ideal [math]\mathfrak{p}\subseteq R[/math] ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle [math]a, b \in R[/math] gilt:
Aus (für alle [math]r \in R[/math] gilt [math]arb \in \mathfrak{p}[/math]) folgt ([math]a \in \mathfrak{p}[/math] oder [math]b \in \mathfrak{p}[/math]).
  • Ein zweiseitiges Ideal [math]\mathfrak{p}\subseteq R[/math] ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring [math]R/\mathfrak{p}[/math] nullteilerfrei ist.

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings [math]R[/math] heißt Spektrum von [math]R[/math] und wird mit [math]\mathrm{Spec} (R)[/math] notiert.

Eigenschaften

In kommutativen Ringen [math]R[/math] mit Einselement gilt:

  • Ein Element [math]p \in R\backslash\left\{0\right\}[/math] ist genau dann ein Primelement, wenn das von [math]p[/math] erzeugte Hauptideal [math](p)[/math] ein Primideal ist.[2]
  • Ein Ideal [math]\mathfrak{p} \subset R[/math] ist genau dann prim, wenn der Faktorring [math]R/\mathfrak{p}[/math] ein Integritätsring ist.
  • Enthält ein Primideal einen Durchschnitt [math]\mathfrak{a}_1\cap\ldots\cap\mathfrak{a}_n[/math] von endlich vielen Idealen von [math]R[/math], so enthält es auch eines der Ideale [math]\mathfrak{a}_i[/math].
  • Ein Ideal [math]\mathfrak{p} \subset R[/math] ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge [math]S=R\setminus \mathfrak{p}[/math] multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach [math]\mathfrak{p}[/math], worunter man den Ring [math]S^{-1}R[/math] versteht, den man auch als [math]R_\mathfrak{p}[/math] schreibt.[3]

Beispiele

  • Die Menge [math]2\mathbb{Z}[/math] der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring [math]\mathbb{Z}[/math] der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
  • Die Menge [math]6\mathbb{Z}[/math] der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in [math]\mathbb{Z}[/math], da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
  • Im Ring [math]R=2\Z[/math] ist das maximale Ideal [math]\mathfrak{m}=4\Z[/math] kein Primideal.
  • Ein maximales Ideal [math]\mathfrak{m}\subseteq R[/math] eines Ringes [math]R[/math] ist genau dann prim, wenn [math]RR \nsubseteq \mathfrak{m}[/math]. Insbesondere ist [math]\mathfrak{m}[/math] prim, falls [math]R[/math] ein Einselement enthält.
  • Das Nullideal [math](0)\subset R[/math] in einem kommutativen Ring [math]R[/math] ist genau dann ein Primideal, wenn [math]R[/math] ein Integritätsbereich ist.
  • In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
  • Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal.

Lying Over und Going Down

Im Folgenden sei stets [math] R [/math] ein kommutativer Ring und [math] R \subset S [/math] eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal [math] \mathfrak{p} \subset R [/math] ein Primideal [math] \mathfrak{q} \subset S [/math], so dass [math] \mathfrak{q} [/math] über [math] \mathfrak{p} [/math] liegt, d.h.

[math] \mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap R [/math].

In diesem Fall sagt man auch, dass [math] S/R [/math] die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem [math] f : R \hookrightarrow S [/math] eine Einbettung von [math] R [/math] in [math] S [/math], so ist die von [math] f [/math] induzierte Abbildung [math] f^* : \mathrm{Spec}(S) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R) [/math] mit [math] \mathfrak{q} \longmapsto f^{-1}(\mathfrak{q}) [/math] surjektiv.

Des Weiteren erfüllt [math] S/R [/math] die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: ist

[math] \mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_n [/math]

eine Kette von Primidealen in [math] R [/math] und

[math] \mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_m [/math]

eine Kette von Primidealen in [math] S [/math] mit [math] m \lt n [/math], so dass außerdem [math] \mathfrak{q}_i [/math] über [math] \mathfrak{p}_i [/math] liegt für alle [math] 1 \leq i \leq m [/math], so lässt sich letztere zu einer Kette

[math] \mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_n [/math]

ergänzen, so dass jedes [math] \mathfrak{q}_i [/math] über [math] \mathfrak{p}_i [/math] liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn [math] R, S [/math] Integritätsringe sind und [math] R [/math] ganzabgeschlossen ist.

Einzelnachweise

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
  2. K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN= 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, §4, Beispiel d) hinter Satz 3.5

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Primideal (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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