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Primelement


Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Definition

Ein Element [math]c[/math] eines kommutativen unitären Ringes [math](R, +, \cdot, 0, 1)[/math] heißt Primelement, falls [math]c[/math] weder 0 noch eine Einheit ist und für alle Elemente [math]a,b \in R[/math] gilt: Teilt [math]c[/math] das Produkt [math]a \cdot b[/math], so folgt stets [math]c[/math] teilt [math]a[/math] oder [math]c[/math] teilt [math]b[/math].

In Symbolnotation: [math]c \mbox{ ist prim } \Leftrightarrow\ c \ne 0 \land c\nmid 1 \land \forall \{a,b\}\subset R\quad c\mid a \cdot b \Rightarrow c \mid a \lor c \mid b .[/math]

Primelemente sind also im Wesentlichen diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.[1]

Irreduzible Elemente

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im Allgemeinen verschieden. Dabei folgt aus der Primeigenschaft stets Irreduzibilität, jedoch nicht umgekehrt. Prim ist also eine „stärkere“ Forderung als irreduzibel.

Sätze über Primelemente

  • Ist [math]c[/math] ein Primelement und [math]e[/math] eine Einheit, so ist [math]c \cdot e[/math] ebenfalls ein Primelement.
  • Ist [math]R[/math] ein Integritätsring, so ist jedes Primelement in [math]R[/math] irreduzibel.
  • Ist [math]R[/math] ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von [math]R \backslash \{ 0\}[/math] lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.
  • Eine Nichteinheit [math]c \ne 0[/math] von [math]R[/math] ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal [math](c)[/math] ein Primideal ist.
  • Ein Körper besteht nur aus der Null und Einheiten. Folglich enthält ein Körper nie Primelemente.

Beispiele

  • Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
  • Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
  • Im Integritätsring [math]\mathbb{Z}[i\sqrt5][/math] (enthält alle Zahlen der Form [math]a +b \cdot i\sqrt{5}[/math], mit [math]a , b \in \Z[/math]), ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim. Das ist so, weil 6 zwar von 2 geteilt wird, sich aber als Produkt [math](1+i\sqrt5)\cdot(1-i\sqrt5)[/math] schreiben lässt, wobei keiner der Faktoren durch 2 teilbar ist.
  • Ist [math]K[/math] ein Körper und [math]R[/math] der Produktring [math]K\times K[/math], dann ist [math](1,0)\in R[/math] ein Primelement.

Einzelnachweise

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 201.

Weblinks

 Wiktionary: Primelement – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kategorien: Algebra

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Primelement (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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