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Potenzregel


Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen [math]f(x) = x^n[/math]. Sie lautet:

[math] f'(x) = ( x^n )' = n \cdot x^{n-1} [/math].

Beispielsweise ist [math] ( x^4 )' = 4 \cdot x^3 [/math].

Verallgemeinerung

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen [math]f(x) = x^s[/math], deren Exponent (Hochzahl) [math]s[/math] keine ganze Zahl ist[1]:

[math]f'(x) = s \cdot x^{s-1}, \quad s \in \R[/math]

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

[math] ( x^n )' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} [/math].

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

[math] \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{n \choose 0} x^n + {n \choose 1} x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x}^2 + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-1} + {n \choose n} {\Delta x}^n - x^n}{\Delta x} [/math]

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

[math] ( x^n )'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{n \choose 1} x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x}^2 + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-1} + {n \choose n} {\Delta x}^n}{\Delta x} [/math]
[math] = \lim_{\Delta x \to 0} \left[{n \choose 1} x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x} + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-2} + {n \choose n} {\Delta x}^{n-1}\right] [/math]
[math] = {n \choose 1} x^{n-1} = n \cdot x^{n-1} [/math].

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: [math]x^s = (e^{\ln x})^s = e^{s \cdot \ln x}[/math] und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion[2] ab:

[math](x^s)'= (e^{s \cdot \ln x})' = e^{s \cdot \ln x} \cdot (s \cdot \ln x)'[/math]

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

[math](s \cdot \ln x)'= s \cdot \frac 1 x[/math]

Indem man dies einsetzt und für [math](e^{s \cdot \ln x})[/math] wieder [math]x^s[/math] schreibt, erhält man

[math](x^s)' = x^s \cdot s \cdot \frac 1 x = s \cdot x^{s-1}[/math]

Diese Herleitung gilt nur für [math]x \ne 0[/math]. Für [math]s\gt1[/math] ist die Funktion [math]f(x) = x^s[/math] aber auch an der Stelle [math]x = 0[/math] differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle [math]x = 0[/math]. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:

[math]f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^s - 0^s}{\Delta x -0} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{s-1} = 0 = s \cdot 0^{s-1}[/math]

Einzelnachweise

  1. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.9)
  2. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.16)

Kategorien: Analysis

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzregel (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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