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Potenzmenge


Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge [math]X[/math] meist als [math]\mathcal P(X)[/math]. Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge [math]\mathcal P(X)[/math] einer Menge [math]X[/math] ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen [math]U[/math] von [math]X[/math] besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

[math]\mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}[/math].

Dabei ist zu beachten, dass sowohl die leere Menge [math]\emptyset[/math] als auch die Menge [math]X[/math] selbst Teilmengen von [math]X[/math] sind. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind [math]\mathfrak p(X),\ 2^X,\ \mathrm{Pot}(X),\ \Pi(X),\ \wp(X)[/math] und [math]\mathfrak P(X)[/math].

Beispiele

  • [math]\mathcal P(\emptyset) = \{ \emptyset \}[/math]
  • [math]\mathcal P(\{ a \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \} \bigr\}[/math]
  • [math]\mathcal P(\{ a, b \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \} \bigr\}[/math]
  • [math]\mathcal P(\{ a, b, c \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ c \}, \{ a, b \}, \{ a, c \}, \{ b, c \}, \{ a, b, c \} \bigr\}[/math]
  • [math]\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\}\bigr\}[/math]
  • [math]\mathcal P(\mathcal P(\{a\})) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\} , \{\{a\}\} , \{\emptyset , \{a\}\} \bigr\}[/math]

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation [math]\subseteq[/math] ist eine Halbordnung auf [math]\mathcal P(X)[/math] (und keine Totalordnung, wenn [math]X[/math] mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist [math]\emptyset[/math], das größte Element ist [math]X[/math].

Vollständiger Verband

Die Halbordnung [math](\mathcal P(X), \subseteq)[/math] ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von [math]\mathcal P(X)[/math] ein Infimum und ein Supremum (in [math]\mathcal P(X)[/math]) gibt. Konkret ist für eine Menge [math]T \subseteq \mathcal P(X)[/math] das Infimum von [math]T[/math] gleich dem Durchschnitt der Elemente von [math]T[/math], und das Supremum von [math]T[/math] ist gleich der Vereinigung der Elemente von [math]T[/math], also

[math]\inf(T) = \bigcap_{M \in T} M\quad\text{ und }\quad\mathrm{sup}(T) = \bigcup_{M \in T} M.[/math]

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

[math]\inf(\emptyset) = X\quad\text{ und }\quad\sup(\emptyset) = \emptyset.[/math]

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung [math] ^\mathrm{c} : \mathcal P(X) \rightarrow \mathcal P(X)[/math] heran, ist [math](\mathcal P(X), \cap, \cup, ^\mathrm{c}, \emptyset, X)[/math] ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf [math]\mathcal P(X)[/math] ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und [math]X[/math] ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge [math]T \subseteq X[/math] kann man die charakteristische Funktion [math]\chi_T \colon X \to \{0,1\}[/math] zuordnen, wobei gilt

[math] \chi_T(x) := \begin{cases} 1,& x \in T\\ 0,& x \not\in T \end{cases} [/math]

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen [math]\mathcal P(X)[/math] und [math]\{0, 1\}^X[/math] (wobei die Notation [math]B^A[/math] für die Menge aller Funktionen von [math]A[/math] nach [math]B[/math] benutzt wird). Dies motiviert für [math]\mathcal P(X)[/math] auch die Schreibweise [math]2^X[/math], denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist [math]2 = \{0, 1\}[/math] (allgemein: [math]n = \{0, ..., n-1\}[/math]).

Die Korrespondenz [math]\mathcal P(X) \cong \{0, 1\}^X[/math] ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

[math]|M|[/math] bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge [math]M[/math].

  • Für endliche Mengen [math]X[/math] gilt: [math]|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}[/math].
  • Stets gilt der Satz von Cantor: [math]|X| \lt |\mathcal P(X)|[/math].

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch [math]2^{|X|}[/math] für die Mächtigkeit [math]|\mathcal P(X)| = \left|2^X\right|[/math] der Potenzmenge einer unendlichen Menge [math]X[/math]. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen [math]X[/math], dass [math]|\mathcal P(X)|[/math] die nach [math]|X|[/math] nächstgrößere Mächtigkeit ist: [math]\mathrm{GCH} \implies (|X| \lt |Y| \implies |\mathcal P(X)| \leq |Y|).[/math]

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit [math]\mathcal P_\kappa(X) = \{ U \subseteq X : |U| \lt \kappa \}[/math] wird die Menge derjenigen Teilmengen von [math]X[/math] bezeichnet, die weniger als [math]\kappa[/math] Elemente enthalten. Beispielsweise ist [math]\mathcal P_3(\{a,b,c\}) = \{ \emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}[/math]: Die Menge [math]\{a,b,c\}[/math] selbst fehlt, da sie nicht weniger als [math]3[/math] Elemente hat.

Sonstiges

  • Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
  • Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge [math]X[/math] ist eine Teilmenge der Potenzmenge [math]\mathcal{P}(X)[/math], also ein Element von [math]\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))[/math].

Literatur

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge – Lern- und Lehrmaterialien
 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien

Kategorien: Mengensystem | Mengenlehre

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmenge (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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