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Poisson-Klammer


Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als

[math]\left \{ f,g \right \} := \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right )}[/math]

mit

Hamiltonsche Bewegungsgleichung

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen [math]f(q_k,p_k,t)[/math] eines Hamiltonschen Systems [math]H(q_k,p_k)[/math] ausgedrückt werden.

Die totale Ableitung nach der Zeit einer beliebigen Observablen [math]f(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t)[/math] ist

[math]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\sum_{k=1}^s \left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\mathrm{d}q_k}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\mathrm{d}p_k}{\mathrm{d}t}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}[/math]

und beschreibt die Zeitevolution der Observablen. Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

[math]\dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k}[/math]

und

[math]\dot{p}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}[/math]

ergibt

[math]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}[/math].

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

[math]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}[/math].

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen [math]F[/math] und [math]G[/math], die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen, definiert werden. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

[math]\{F,G\}_{ab}:=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right)[/math].

Eigenschaften

[math]\,\{c_1 f_1+c_2 f_2,g\}=c_1 \{f_1,g\}+ c_2 \{f_2,g\}[/math]
[math]\{f,g\}=-\{g,f\}\,\Rightarrow\, \{f,f\}=0[/math]
[math]\,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}[/math]
[math]\,\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0[/math]
  • Invarianz

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte. Damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien [math](\mathbf{q},\mathbf{p})[/math] und [math](\mathbf{Q},\mathbf{P})[/math] zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt

[math]\{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\}[/math].

Der Beweis für die Invarianzeigenschaft ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

[math]\left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl}[/math]
[math]\left \{ q_k, q_l \right \} = 0[/math]
[math]\left \{ p_k, p_l \right \} = 0[/math]

welche einfach aus den trivialen Beziehungen

[math]\frac{\partial q_k}{\partial q_l}=\delta_{kl}[/math]
[math]\frac{\partial q_k}{\partial p_l}=0[/math]
[math]\frac{\partial p_k}{\partial q_l}=0[/math]
[math]\frac{\partial p_k}{\partial p_l}=\delta_{kl}[/math]

folgen.

Dabei ist [math]\delta_{kl}[/math] das Kronecker-Delta.

Anwendung

  • Die Poisson-Klammer kann dazu benutzt werden, um die zeitliche Änderung von Observablen durch die Dynamik des Systems zu bestimmen. Es gilt für eine Observable [math]f(\mathbf{q(\mathrm{t})},\mathbf{p(\mathrm{t})},t)[/math]
[math] \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t},[/math]
  • Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable [math]f(\mathbf{q},\mathbf{p},t)[/math] ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn
[math] 0=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t} [/math]
gilt. Ist [math]f[/math] nicht explizit zeitabhängig, wird daraus
[math] \,0=\{f,H\} [/math]
[math] \dot{\rho}=\{H,\rho\}.[/math]
[math]\{H,f\}\rightarrow-\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{f}][/math]
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator [math]\hat{H}[/math] im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit in lokalen Koordinaten durch [math]\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j[/math] gegebener symplektischer Form die Poisson-Klammer der Funktionen [math]f[/math] und [math]g[/math] durch
[math]\{f, g\} = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.[/math]

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software . In: arXiv.org > quant-ph > arXiv:quant-ph/0204081v1. [v1] Mon, 15 Apr 2002 13:10:24 GMT.

Kategorien: Klassische Mechanik | Notation (Physik) | Differentialgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Klammer (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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