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Pascalsche Schnecke


Die pascalsche Schnecke, auch pascalsche Limaçon, ist eine spezielle ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung. Die Kardioide stellt einen Sonderfall der pascalschen Schnecke dar.

Sie ist benannt nach dem französischen Juristen Étienne Pascal, dem Vater des Mathematikers, Physikers und Philosophen Blaise Pascal, obwohl Albrecht Dürer sie bereits ein halbes Jahrhundert vorher in seinem Buch Underweysung der Messung (S. 40) erstmals gezeichnet und sie wegen der Hilfslinien seiner Konstruktion "Spinnenlinie" genannt hat.

Gleichungen der pascalschen Schnecke

  • Kartesische Koordinaten: [math](x^2 + y^2 - a x)^2 - b^2 (x^2 + y^2) \, = \, 0[/math]
  • Polarkoordinaten: [math]r = a \cos\varphi + b[/math]
  • Parametergleichung: [math]x = a (\cos t)^2 + b \cos t; \qquad y = a \cos t \sin t + b \sin t[/math]

Eigenschaften der pascalschen Schnecke

  • Die folgende geometrische Eigenschaft kann zur Definition der Kurve herangezogen werden: Gegeben seien ein Kreis mit Durchmesser a, ein Punkt A auf diesem Kreis und eine positive reelle Zahl b. Dann liegen für einen beliebigen Punkt B des Kreises die beiden Punkte P und P', die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b haben, auf der pascalschen Schnecke. Es handelt sich also um einen Spezialfall der allgemeinen Konchoide.

  • Die von der pascalschen Schnecke eingeschlossene Fläche hat den Flächeninhalt [math]\tfrac{1}{2} a^2 \pi + b^2 \pi[/math]. Dabei ist zu beachten, dass für [math]b \lt a[/math] der Flächeninhalt der inneren Schleife doppelt gezählt wird, da die Punkte im Inneren dieser Schleife von der Kurve zweimal umlaufen werden.
  • Die Bogenlänge der Pascalschen Schnecken beträgt [math]\int_{0}^{2\pi}\mathrm{\sqrt{a^2 + 2abcos{\varphi} + b^2}}\, \mathrm{d}\varphi [/math]
  • Für Werte [math]b \lt a[/math] entsteht eine Schleife, für [math]b \lt 2a[/math] zumindest noch eine Einbuchtung.
  • Für Werte [math]b \gt 7a[/math] nähert sich der Flächeninhalt der Schnecke dem eines entsprechenden Kreises (mit Radius [math]r = b[/math] und Mittelpunkt [math]M(1|0)[/math]) auf weniger als 1 % an.

Pascalschnecke als Trisektrix

Die Pascalschnecke mit der Parameterbeziehung [math]b=\tfrac{a}{2}[/math] wird auch als Trisektrix bezeichnet, da sich mit ihrer Hilfe die Dreiteilung eines Winkels vornehmen lässt. Hierzu wählt man auf den einem der Schenkel des gegebenen Winkels [math]\alpha[/math] mit Spitze A einen Punkt B und konstruiert eine Pascalschnecke mit |AB| als Durchmesser ihres zugehörigen Kreises mit Mittelpunkt M und dem Radius dieses Kreises als der Abstandsparameter b. Der Kreis um A mit dem Radius b schneidet den zweiten Schenkel in C. Nun schneidet die Strecke CM die innere Schleife der Pascalschnecke in P' und der von der Strecke AP' mit mit der Strecke AB gebildete Winkel [math]\beta[/math] beträgt ein Drittel des Ausgangswinkels, also [math]\beta=\tfrac{\alpha}{3}[/math].

Literatur

  • Höhere Mathematik griffsbereit. Vieweg, 1974, S. 719-722 (Auszug (Google) )
  • I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Handbook of Mathematics. Springer, 2015, S. 98-99 (Auszug (Google) )
  • E. H. Lockwood:Book of Curves. Cambridge University Press, 1961, S. 44-51
  • J. Dennis Lawrence: A Catalog of Special plane Curves. Dover Publications,1972, S. 113-117 (Auszug (Google) )
  • Robert C. Yates: Curves and their Properties. National Council of Teachers of Mathematics, 1974, S. 148-151

Weblinks


Kategorien: Geometrische Kurve

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