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Parakompakter Raum


Parakompaktheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er beschreibt eine Eigenschaft topologischer Räume, welche in vielen Sätzen der Topologie eine wesentliche Rolle spielt. Der Begriff der Parakompaktheit wurde im Jahre 1944 von dem französischen Mathematiker Jean Dieudonné eingeführt.[1]

Tatsächlich sind viele der gängigen topologischen Räume sogar parakompakte Hausdorff-Räume. Manche Autoren setzen für parakompakte Räume die Hausdorff-Eigenschaft stets mit voraus.[2] Zu den parakompakten Hausdorff-Räumen zählen insbesondere alle metrischen Räume (Satz von Arthur Harold Stone[3]) und alle Mannigfaltigkeiten (hier ist die Parakompaktheit Teil der üblichen Definition). Schwieriger ist es, nicht-parakompakte Räume zu finden. Ein gängiges Gegenbeispiel ist die sogenannte lange Gerade.

Parakompaktheit ist eine abgeschwächte Form der Kompaktheit; zum Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen in der üblichen Topologie parakompakt, aber nicht kompakt.

Definition

Ein topologischer Raum M ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt.

Zum Vergleich: Ein topologischer Raum M ist kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Dabei bedeutet:

  • offene Überdeckung von [math]M[/math]: eine Familie [math](U_i)_{i \in I}[/math] von offenen Mengen, deren Vereinigung [math]M[/math] enthält: [math]M \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i[/math];
  • Teilüberdeckung: eine Teilfamilie [math](U_i)_{i \in I_0} (I_0 \subseteq I)[/math], deren Vereinigung immer noch [math]M[/math] enthält;
  • Verfeinerung: eine neue Überdeckung [math](V_j)_{j \in J}[/math], wobei jede Menge [math]V_j[/math] in mindestens einer Menge [math]U_i[/math] der alten Überdeckung enthalten sein muss;
  • lokal endlich: zu jedem [math]x \in M[/math] gibt es eine Umgebung, die nur endlich viele Mengen [math]V_j[/math] schneidet.

Eigenschaften

Mannigfaltigkeiten sind parakompakt

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (die nach Definition Hausdorffsch sind und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen) sind immer parakompakt. Aus der Parakompaktheit folgt die Existenz einer Zerlegung der Eins.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 135.
  2. Schubert: Topologie. 1975, S. 84.
  3. Schubert: Topologie. 1975, S. 90.

Kategorien: Mengentheoretische Topologie | Topologischer Raum

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Parakompakter Raum (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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