Paraboloid - LinkFang.de





Paraboloid


Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen entweder durch eine Gleichung

  • [math]P1\colon z=x^2+y^2,[/math] elliptisches Paraboloid, oder
  • [math]P2\colon z=x^2-y^2, [/math] hyperbolisches Paraboloid,

beschrieben.

Offensichtlich enthalten beide Flächen viele Parabeln als ebene Schnitte (s. u.). Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

  • [math]P1[/math] besitzt als Höhenschnitte ([math]z=\text{const}[/math]) Kreise.
  • [math]P2[/math] besitzt als Höhenschnitte Hyperbeln oder Geraden (für [math]z=0[/math]).

Eigenschaften von P1

Tangentialebenen an P1

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt [math](x_0,y_0,f(x_0,y_0))[/math] an den Graphen einer differenzierbaren Funktion [math]f[/math] hat die Gleichung

[math]z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)[/math].

Für [math]f(x,y)=x^2+y^2[/math] ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt [math](x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)[/math]

[math]z=2x_0x+2y_0y-(x_0^2+y_0^2)[/math].

Ebene Schnitte von P1

Das elliptische Paraboloid [math]P1[/math] ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel [math]z=x^2[/math] um die [math]z[/math]-Achse. Ein ebener Schnitt von [math]P1[/math] ist:

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur [math]z[/math]-Achse) ist.
  • eine Ellipse oder ein Punkt oder leer, falls die Ebene nicht senkrecht ist. Eine horizontale Ebene schneidet [math]P1[/math] in einem Kreis.
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist.

Affine Bilder von P1

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von [math]P1[/math]. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

[math]P1_{ab}\colon z=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2},\ a,b \gt0[/math].

[math]P1_{ab}[/math] besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls [math]a\ne b[/math] gilt.

[math]P1_{ab}[/math] ist

  • symmetrisch zu den [math]xz[/math]- bzw. [math]yz[/math]-Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur [math]z[/math]-Achse, d. h. [math](x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z)[/math] lässt [math]P1_{ab}[/math] invariant.
  • rotationssymmetrisch, falls [math]a= b[/math] ist.

Bemerkung:

  1. Ein Rotationsparaboloid (d. h. [math]a=b[/math]) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
  2. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.
  3. Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent (s. projektive Quadrik).

Eigenschaften von P2

Tangentialebenen an P2

Für [math]f(x,y)=x^2-y^2[/math] ist die Gleichung der Tangentialebene (s. o.) im Punkt [math](x_0,y_0,x_0^2-y_0^2)[/math]

[math]z=2x_0x-2y_0y-x_0^2+y_0^2[/math].

Ebene Schnitte von P2

[math]P2[/math] ist (im Gegensatz zu [math]P1[/math]) keine Rotationsfläche. Aber wie bei [math]P1[/math] sind bei [math]P2[/math] auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit [math]P2[/math] ist

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur [math]z[/math]-Achse) ist und eine Gleichung [math]ax+by+c=0, a\ne \pm b[/math] hat.
  • eine Gerade, falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung [math]y=\pm x+c[/math] hat.
  • ein sich schneidendes Geradenpaar, falls die Ebene eine Tangentialebene ist (s. Bild).
  • eine Hyperbel, falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (s. Bild).

Bemerkung:

  1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur [math]xz[/math]- oder [math]yz[/math]-Ebene sind alle kongruent zur Normparabel [math]z=x^2[/math].
  2. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
  3. Da die Fläche [math]P2[/math] Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
  4. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar (wie Zylinder und Kegel), da die Gaußkrümmung in jedem Punkt nicht [math]0[/math] ist. Die Gaußkrümmung ist überall [math]\lt0[/math]. (Bei einer Kugel ist die Gaußkrümmung überall [math]\gt0[/math].) Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
  5. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die [math]z[/math]-Achse um 45 Grad geht die Gleichung [math]z=x^2-y^2 [/math] in die einfachere Gleichung [math]z=2xy [/math] über.

Affine Bilder von P2

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von [math]P2[/math]. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

[math]P2_{ab}:\ z=\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2},\ a,b \gt0[/math].

[math]P2_{ab}[/math] ist

  • symmetrisch zu den [math]xz[/math]- bzw. [math]yz[/math]-Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur [math]z[/math]-Achse, d. h. [math](x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z)[/math] lässt [math]P2_{ab}[/math] invariant.

Bemerkung:

  1. Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (s. Bild), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.
  2. Ein hyperbolisches Paraboloid ist projektiv zum einschaligen Hyperboloid äquivalent.

Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden

Lässt man in den Gleichungen

[math]z=x^2 + \frac{y^2}{b^2} [/math] (Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

[math]z=x^2 - \frac{y^2}{b^2} [/math] (Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den Parameter [math] b[/math] gegen [math]\infty[/math] laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche

[math] z=x^2[/math].

Dies ist die Gleichung eines Zylinders mit einer Parabel als Querschnitt (parabolischer Zylinder), s. Bild.

Siehe auch

Weblinks

 Commons: Paraboloid  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Darstellende Geometrie | Raumgeometrie

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