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Ortsoperator


Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand [math]\Psi[/math] eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor [math]|\Psi \rangle[/math] beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen [math]\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)[/math], so dass

[math]E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_\mathrm{H} \ ,\quad j = 1,2,3[/math]

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand [math]\Psi[/math] ist.

Definition und Eigenschaften

[math] [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad [\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}[/math]
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum [math]\mathbb{R}^3[/math] besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum [math]H = L^2(\R^3;\C)[/math] ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums [math]\R^3[/math], jeder Zustand [math]\Psi[/math] ist durch eine Ortswellenfunktion [math]\psi(\mathbf{x})[/math] gegeben.

Die Ortsoperatoren [math]\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)[/math] sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator [math]\hat{x}_j[/math] wirkt auf Ortswellenfunktionen [math]\psi(\mathbf{x})[/math] durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion [math]x_j[/math]

[math](\hat{x}_j \, \psi)(\mathbf{x})= x_j \cdot \psi(\mathbf{x})[/math]

Dieser Operator [math]\hat{x}_j[/math] ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum [math]D=\{\psi \in H \, | \, x\cdot\psi \in H \}[/math] definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

[math]E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_{L^2} = \int_{\R^3} x_j\,\psi(\mathbf{x})\,\overline{\psi(\mathbf{x})} \, \mathrm{d} x = \int_{\R^3} x_j \, |\psi(\mathbf{x})|^2 \mathrm{d} x[/math]

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

[math]\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)= -\mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial x_k} \psi (\mathbf x)[/math]

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen [math]\tilde{\psi}(\mathbf{p})[/math]

[math](\hat{p}_k \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = p_k \cdot \tilde{\psi}(\mathbf{p})[/math]
und der Ortsoperator als Differentialoperator:
[math](\hat{x}_j \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial p_j} \tilde{\psi}(\mathbf{p})[/math]

Literatur


Kategorien: Quantenmechanik | Quantenchemie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsoperator (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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