Orthodrome - LinkFang.de





Orthodrome


Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen, daher auch die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung Luftlinie.

Berechnung

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen Bedeutung
[math]\, \phi[/math] Geographische Breite
[math]\, \lambda[/math] Geographische Länge
[math]\, A (\phi_A, \lambda_A)[/math] Anfangspunkt
[math]\, B (\phi_B, \lambda_B)[/math] Endpunkt
[math]\, P_N(\phi_N, \lambda_N)[/math] Nördlichster Punkt der Orthodrome
[math]\, \alpha[/math] Kurswinkel bei A
[math]\, \beta[/math] Kurswinkel bei B
[math]\, \zeta[/math] Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist [math]\, \lambda[/math] in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; [math]\, \phi[/math] ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Strecke

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

[math]\, \zeta =\arccos\left(\sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A) \right) [/math]

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss [math]\zeta[/math] noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für [math]\zeta[/math] im Bogenmaß; falls [math]\zeta[/math] in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit [math]\pi / 180[/math]° multipliziert werden).

Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Kurswinkel
[math]\alpha = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_B) - \sin(\phi_A) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_A) \cdot \sin(\zeta)}\right)[/math]
[math]\beta = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_A) - \sin(\phi_B) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_B) \cdot \sin(\zeta)}\right)[/math]

Die beiden Parameter [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math] lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden [math]\phi_A[/math] bzw. [math]\phi_B[/math] und [math]\lambda_A[/math] bzw. [math]\lambda_B[/math] bestimmen:

[math]\alpha = \arccos \left( \frac{ \cos(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) - \cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \sin(\phi_A) } {\sqrt{1- (\cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) + \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B))^2}} \right)[/math]
[math]\beta = \arccos \left( \frac{ \cos(\phi_B) \cdot \sin(\phi_A) - \cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) } {\sqrt{1- (\cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) + \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B))^2}} \right)[/math]
rechtweisende Kurse A → B
[math]\, rwK_A = \alpha [/math]
[math]\, rwK_B = 180^\circ - \beta [/math]
rechtweisende Kurse B → A
[math]\, rwK_B = 360^\circ - \beta [/math]
[math]\, rwK_A = 180^\circ + \alpha [/math]

Nördlichster Punkt

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

[math]\, \phi_N = \arccos \left( \sin(|\alpha_A|) \cdot \cos(\phi_A) \right) [/math]
[math] \lambda_N = \lambda_A + \operatorname{sgn}(\alpha_A) \cdot \left| \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right) \right| [/math]

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

  • Berlin
    • 52° 31' 0" N = 52,517°
    • 13° 24' 0" E = 13,40°
  • Tokio
    • 35° 42' 0" N = 35,70°
    • 139° 46' 0" E = 139,767°

Winkelberechnung

[math]\, \phi_A = 52{,}517^\circ[/math]
[math]\, \lambda_A = 13{,}40^\circ[/math]
[math]\, \phi_B = 35{,}70^\circ[/math]
[math]\, \lambda_B = 139{,}767^\circ[/math]
[math]\begin{align}\, \zeta &=\arccos \Big( \sin(\phi_A) \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big) \\ & =\arccos \Big( \sin(52{,}517^\circ) \sin(35{,}70^\circ) + \cos(52{,}517^\circ)\cos(35{,}70^\circ)\cos(139{,}767^\circ - 13,40^\circ) \Big)\\ &=\arccos(0{,}79353 \cdot 0{,}58354 + 0{,}60853 \cdot 0{,}81208 \cdot (-0{,}59296) ) \\ & =\arccos( 0{,}1700) \\ &= 80{,}212^\circ \end{align}[/math]
bzw. [math]\, \zeta = 1{,}400[/math] im Bogenmaß

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6.370 km ausgegangen.

[math] \begin{align} L & = \frac{\zeta}{360^\circ} \cdot 40\,000\ \mathrm{km} \\ & = \frac{80{,}212^\circ}{360^\circ} \cdot 40\,000\ \mathrm{km} \\ & = 8912\ \mathrm{km} \end{align} [/math]

Oder für [math]\, \zeta[/math] im Bogenmaß:

[math] \begin{align} L & = \zeta \cdot 6370\ \mathrm{km} \\ & = 8918\ \mathrm{km} \end{align} [/math]

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Sie unterscheiden sich nur deshalb um 6 km, weil aus dem gerundeten Erdradius 6.370 km ein Umfang der Erdkugel von knapp 40.024 km statt 40.000 km folgt. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoiden verwendet werden, müssen die Parameter [math]a[/math] (Radius) und [math]f[/math] (Abplattung) angepasst werden.

Seien [math]\phi_A[/math] und [math]\lambda_A[/math] die geografische Breite und Länge von Standort A, [math]\phi_B[/math] und [math]\lambda_B[/math] die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: [math]f = \frac{1}{298{,}257\,223\,563}[/math]

Äquatorradius der Erde: [math]a = 6378,137 \ \mathrm{km}[/math]

[math]F = \frac{\phi_A + \phi_B}{2}[/math], [math]G = \frac{\phi_A - \phi_B}{2}[/math], [math]l = \frac{\lambda_A - \lambda_B}{2}[/math]

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt:

[math]S = (\sin{G})^2 \cdot (\cos{l})^2 + (\cos{F})^2 \cdot (\sin{l})^2[/math]
[math]C = (\cos{G})^2 \cdot (\cos{l})^2 + (\sin{F})^2 \cdot (\sin{l})^2[/math]
[math]w = \arctan{\sqrt{\frac{S}{C}}}[/math]
[math]D = 2 \cdot w \cdot a[/math]

Dabei ist [math]w[/math] im Bogenmaß einzusetzen.

Der Abstand [math]D[/math] wird durch die Faktoren [math]H_1[/math] und [math]H_2[/math] korrigiert:

[math]T = \frac{\sqrt{S \cdot C}}{w}[/math]
[math]H_1 = \frac{ 3 \cdot T - 1}{2 \cdot C}[/math]
[math]H_2 = \frac{3 \cdot T + 1}{2 \cdot S}[/math]

Der Abstand [math]s[/math] in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

[math]s = D \cdot \left(1 + f \cdot H_1 \cdot (\sin{F})^2 \cdot (\cos{G})^2 - f \cdot H_2 \cdot (\cos{F})^2 \cdot (\sin{G})^2 \right)[/math]

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio

[math] \begin{array}{lcl} \phi_A & = & 52{,}516666666666667^\circ \\ \lambda_A & = & 13{,}400^\circ \\ \phi_B & = & 35{,}700^\circ \\ \lambda_B & = & 139{,}766666666666667^\circ \\ \\ f & = & 0{,}00335281066474748 \\ a & = & 6378{,}137 \ \mathrm{km}\\ F & = & 44{,}108333333333333^\circ \\ G & = & 8{,}408333333333333^\circ \\ l & = & -63{,}183333333333333^\circ \\ S & = & 0{,}41498261872684 \\ C & = & 0{,}58501738127316 \\ w & = & 0{,}699965690768276 \\ T & = & 0{,}70391883329502 \\ D & = & 8928{,}9541420394 \ \mathrm{km}\\ H_1 & = & 0{,}95019099899696 \\ H_2 & = & 3{,}74926124548527 \\ \\ s & = & 8941{,}20250458698 \ \mathrm{km} \end{array} [/math]

Der Abstand [math]s[/math] ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

Loxodrome

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis.

Siehe auch

Weblinks

Quellen

Formel zur genaueren Abstandsberechnung:


Kategorien: Mathematische Geographie | Flugnavigation | Geolokation

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Orthodrome (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.