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Ordnung eines Gruppenelementes


Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements [math]g[/math] einer Gruppe [math](G, \cdot)[/math] die kleinste natürliche Zahl [math]n \gt 0[/math], für die [math]g^n = e[/math] gilt, wobei [math]e[/math] das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, [math]g[/math] habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit [math]\operatorname{ord}(g)[/math] oder [math]\operatorname{o}(g)[/math] bezeichnet.

Die Potenz [math]g^n[/math] eines Gruppenelementes [math]g[/math] ist dabei für natürliche Hochzahlen [math]n \ge 0[/math] induktiv definiert:

  • [math]g^0 := e[/math]
  • [math]g^{k+1} := g^k \cdot g[/math] für alle natürlichen [math]k \ge 0[/math]

Die Zahl [math]\exp(G) := \operatorname{kgV}\left\{\operatorname{ord}(g)\,|\,g\in G\right\}[/math] wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften

  • Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, die ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe, ist.
  • Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Primteiler [math]p[/math] der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung [math]p[/math] hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element [math]e=e^1[/math] gehört).
  • Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
  • Es gilt [math]g^d = e[/math] genau dann, wenn [math]d[/math] ein Vielfaches der Ordnung [math]\operatorname{ord}(g)[/math] des Elements [math]g[/math] ist.
  • In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes [math]g\cdot h[/math] ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von [math]g[/math] und [math]h[/math]. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element [math]\left[\!\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\!\right][/math] der Gruppe SL2(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente [math]\left[\!\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\!\right][/math] mit der Ordnung 4 und [math]\left[\!\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\!\right][/math] mit der Ordnung 6 ist.

Literatur

  • J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.

Kategorien: Gruppentheorie

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