Nullfolge - LinkFang.de





Nullfolge


In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.

Zum Beispiel ist die Folge [math](2^{-n})_{n\in\N}[/math] in den reellen Zahlen eine Nullfolge.

Definition

Sei [math]\mathbb{K} \in \{\R,\C\}[/math] der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Folge [math](a_n)_{n \in \N} \subset \mathbb{K}[/math] heißt Nullfolge, falls

[math]\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0[/math]

gilt. Die Menge aller Nullfolgen bildet den Folgenraum [math]c_0[/math], der mit der Supremumsnorm  [math]\textstyle \left\|(a_n)_{n \in \N}\right\|_\infty := \sup_{n\in \N}|a_n|[/math]  ein Banachraum wird.

Beispiele

Beispiele für Nullfolgen [math](a_n)_{n\in\N}[/math] sind:

  • [math] a_n \,=\, 0[/math],
  • [math] a_n \,=\, \frac{1}{n}[/math],
  • [math] a_n \,=\, \frac{1}{n^2}[/math],
  • [math] a_n \,=\, (-1)^n\frac{1}{n}[/math],
  • [math] a_n \,=\, (-0{,}5)^n[/math],
  • [math] a_n \,=\, \sqrt[n]{5} - 1[/math].

Verallgemeinerung

Sei [math](G, +, d)[/math] eine metrisierbare topologische Gruppe, d. h. eine Gruppe, die mit einer Metrik so ausgestattet ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z. B. die additive Gruppe in einem bewerteten Körper oder normierten Vektorraum).

Eine Folge in [math]G[/math] heißt genau dann Nullfolge, wenn sie gegen das neutrale Element konvergiert.

Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge [math]a_n = (-0,5)^n[/math] ist in [math]\mathbb{Q}[/math] eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar bezüglich des 2-adischen Betrages auf [math]\mathbb{Q}[/math].

Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine Nullfolge in [math]\mathbb{R}[/math] ist.

Siehe auch

Quellen

Weblinks


Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolge (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.