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Normaler Operator


In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist [math]X[/math] ein Hilbertraum und bezeichnet [math]\mathcal{L}(X)[/math] die Menge aller stetigen Endomorphismen von [math]X[/math], so heißt ein Operator [math]A \in \mathcal{L}(X)[/math] normal, falls er mit seinem adjungierten Operator [math]A^{\ast}[/math] kommutiert, also wenn

[math] A A^{\ast} = A^{\ast} A[/math]

gilt.

Beispiele

Eigenschaften

Sei [math]A\in\mathcal{L}(X)[/math] ein normaler Operator. Dann gilt:

  • [math] \|Ax\| = \|A^{\ast}x\| [/math] für alle [math]x\in X[/math]
  • [math] \|Ax\|^2 \le \|A^2 x\| \|x\| [/math] für alle [math]x\in X[/math]
  • Die Operatornorm von [math]A[/math] ist gleich dem Spektralradius: [math] \|A\| = \sup\{|\lambda| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.[/math] Dabei bezeichnet [math]\sigma(A)[/math] das Spektrum von [math]A[/math].
  • Die von [math]A[/math] erzeugte C*-Algebra und die von [math]A[/math] erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
  • Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
  • Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall [math]\{0\}[/math] ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
  • Ein beschränkter Operator [math]A[/math] in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in [math]A=W_1+i\, W_2[/math] mit dem „Realteil“ [math]W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})[/math] und dem „Imaginärteil“ [math]W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).[/math] Dabei sind die Operatoren [math]W_i[/math] selbstadjungiert. [math]A[/math] ist genau dann normal, wenn [math]W_1 W_2= W_2 W_1[/math].

Verwandte Begriffe

Ein Operator [math]A\in\mathcal{L}(X)[/math] heißt

  • quasinormal, falls [math]A\,\![/math] mit [math]A^{\ast}A[/math] vertauscht, das heißt [math]AA^{\ast}A=A^{\ast}AA[/math].
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum [math]Y[/math] gibt, so dass [math]X[/math] Unterraum von [math]Y[/math] ist, und einen normalen Operator [math]B\in\mathcal{L}(Y)[/math], so dass [math]B(X)\subset X[/math] und [math]A=B|_X\,\![/math]
  • hyponormal, falls [math]\|A^{\ast}x\| \le \|Ax\| [/math] für alle [math]x\in X[/math].
  • paranormal, falls [math] \|Ax\|^2 \le \|A^2x\| \|x\| [/math] für alle [math]x\in X[/math].
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: [math] \|A\| = \sup\{|\lambda|; \lambda \in \sigma(A)\} [/math].

Es gelten folgende Implikationen:

normal [math]\Rightarrow[/math] quasinormal [math]\Rightarrow[/math] subnormal [math]\Rightarrow[/math] hyponormal [math]\Rightarrow[/math] paranormal [math]\Rightarrow[/math] normaloid.

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator [math]A: D(A) \subseteq X \to X[/math] mit Definitionsbereich [math]D(A)[/math] heißt normal falls

[math] \| A x\| = \|A^\ast x\|, \qquad \forall x\in D(A)=D(A^\ast)[/math]

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt [math]A^\ast = A[/math].

Literatur


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Normaler Operator (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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