Multilinearform - LinkFang.de





Multilinearform


Eine [math]p[/math]-Multilinearform [math]\omega[/math] ist in der Mathematik eine Funktion, die [math]p[/math] Argumenten [math]v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\}[/math] aus [math]K[/math]-Vektorräumen [math]V_1, \ldots, V_p[/math] einen Wert [math]\omega(v_1,\ldots,v_p) \in K[/math] zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition

Eine Abbildung

[math] \begin{align} \omega:\ V_1\times \cdots \times V_p & \rightarrow K \\ (v_1,\ldots,v_p) \ & \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right) \end{align} [/math]

heißt Multilinearform, wenn für alle [math]v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\}[/math] und alle [math]i \in \{1, \ldots, p\}[/math] folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle [math]\lambda \in K[/math] gilt

[math]\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)[/math]

und für alle [math]w \in V_i[/math]

[math]\omega\left(v_1,\ldots,v_i+w,\ldots,v_p\right) = \omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\omega\left(v_1,\ldots,w,\ldots,v_p\right)[/math].

Die Menge aller multilinearen Abbildungen [math]\mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p)[/math] bildet einen [math]K[/math]-Vektorraum. Im Fall [math]V_1 = \cdots = V_p =: V[/math] schreibt man [math]\mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V)[/math].

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform [math]\omega \in \mathcal{J}^p(V)[/math] heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d.h.

[math]\omega\left(\dots,v,\dots,v,\dots\right)= 0[/math]

für alle [math]v \in V[/math].[1]

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

[math]\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)[/math]

für alle [math]v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\}[/math] und [math]i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j[/math]. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von [math]K[/math] nicht 2 ist, also zum Beispiel für [math]K = \mathbb{R}[/math].[1]

Ist allgemeiner [math]\pi \in S_p[/math] eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

[math]\omega\left(v_{\pi(1)}, \dotsc, v_{\pi(p)}\right) = \operatorname{sign}(\pi) \cdot \omega\left(v_{1}, \dotsc, v_{p}\right)[/math],

wobei [math]\operatorname{sign}(\pi)[/math] das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen [math]\Omega^p(V)[/math] ist ein Untervektorraum von [math]\mathcal{J}^p(V)[/math]. Außerdem lässt sich auf dieser Menge die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra. Wichtig ist der Spezialfall [math]\ p = \dim V[/math]. Dann ist [math]\Omega^p(V)[/math] ein eindimensionaler Unterraum von [math]\mathcal{J}^p(V)[/math], und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Beispiele

  1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
  2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von [math]K[/math] nicht 2 ist).
  3. Bildet man aus [math]n[/math] Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also [math]\omega [/math] definiert durch
    [math]\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):= \det\begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix} [/math]
    eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren [math]v_1,v_2,v_3[/math] folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
    [math] v_1=\begin{pmatrix} v_{1x} \\ v_{1y} \\ v_{1z} \end{pmatrix} ,\quad\quad v_2=\begin{pmatrix} v_{2x} \\ v_{2y} \\ v_{2z} \end{pmatrix} ,\quad\quad v_3=\begin{pmatrix} v_{3x} \\ v_{3y} \\ v_{3z} \end{pmatrix}[/math].
  4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume [math]V_i[/math] identisch sind (also [math]V_i=V[/math]), ist die [math]p[/math]-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor [math]p[/math]-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden [math]p[/math]-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren [math]p[/math]-ter Stufe.
  5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online ).

Literatur


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Multilinearform (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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