Multikollinearität - LinkFang.de





Multikollinearität


Multikollinearität ist ein Problem der Regressionsanalyse und liegt vor, wenn zwei oder mehr erklärende Variablen eine sehr starke Korrelation miteinander haben. Zum einen wird mit zunehmender Multikollinearität das Verfahren zur Schätzung der Regressionskoeffizienten instabil und Aussagen zur Schätzung der Regressionskoeffizienten zunehmend ungenau. Zum anderen ist die Modellinterpretation nicht mehr eindeutig.

Probleme der Multikollinearität

Perfekte Kollinearität macht die rechnerische Durchführung der linearen Regressionsanalyse unmöglich und tritt meist als Folge der Fehlspezifikation des zu Grunde liegenden Modells auf.

Numerische Instabilität

Mathematisch lässt sich die Lösung des linearen Regressionsproblems [math]y_i = b_0 + b_1 x_{i,1} + \dots + b_p x_{i,p}[/math] für die Regressionskoeffizienten der mit der Kleinste-Quadrate-Methode darstellen als

[math]\hat{b} = (X^\prime X)^{-1}X^\prime y[/math].

Der Vektor [math]\hat{b}=(\hat{b}_0, \dots, \hat{b}_p)[/math] enthält die geschätzten Regressionsparameter, der Vektor [math]y=(y_1, \dots, y_n)[/math] und die Matrix

[math]X=\begin{pmatrix} 1 & x_{1,1} & \cdots & x_{1,p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_{n,1} & \cdots & x_{n,p} \end{pmatrix}[/math]

die [math]n[/math] [math]p[/math]-dimensionalen Beobachtungswerte. Das Problem ist die Berechnung der Inversen von [math]X^\prime X[/math]; je stärker die Multikollinearität ist, desto mehr nähert sich [math]X^\prime X[/math] einer singulären Matrix an, d. h. es existiert keine Inverse.

Modellinterpretation

Wenn das Regressionsmodell [math]y=b_0+b_1 x_1 + b_2 x_2[/math] ist und perfekte Multikollinearität vorliegt, d. h.

[math]x_2=c_0+c_1 x_1\,[/math] oder umgestellt
[math] x_1 = \frac{1}{c_1} x_2 - \frac{c_0}{c_1}[/math]

und setzt beide Gleichungen jeweils in das Regressionsmodell ein, so erhält man

(1) [math]y = b_0+b_1 x_1 + b_2 (c_0+c_1 x_1) = (b_0 + b_2 c_0) + (b_1 +b_2 c_1) x_1\,[/math]
(2) [math]y = b_0+b_1 \left(\frac{1}{c_1} x_2 - \frac{c_0}{c_1}\right) + b_2 x_2 = \left(b_0+\frac{b_1c_0}{c_1}\right) + \left(\frac{b_1}{c_1}+b_2\right) x_2[/math]

Im Modell (1) hängt [math]y[/math] nur noch von [math]x_1[/math] ab und im Modell (2) hängt [math]y[/math] nur noch von [math]x_2[/math] ab. Es stellt sich nun die Frage, welches Modell ist das „Richtige“? In der Ökonomie spricht man von nicht identifizierbaren Modellen.

Identifikation von Multikollinearität

Weil empirische Daten immer einen gewissen Grad an Multikollinearität aufweisen, wurden Kennzahlen entwickelt, die Hinweise auf Multikollinearität liefern. Einen eindeutigen Richtwert gibt es jedoch nicht.

Korrelation

Zur Aufdeckung von Multikollinearität dient z. B. die Analyse der Korrelationskoeffizienten der Regressoren. Sehr hohe positive oder negative Korrelationskoeffizienten zeigen einen starken Zusammenhang zwischen den Regressoren und damit Multikollinearität an. Eine niedrige Korrelation zwischen den Regressoren bedeutet jedoch nicht automatisch die Abwesenheit von Multikollinearität; auch lineare Kombinationen von Regressoren, die eine hohe positive oder negative Korrelation aufweisen, z. B. zwischen [math]d_1 x_1 + d_2 x_2[/math] und [math]d_3 x_3 + d_4 x_4[/math], führen zu den oben genannten Problemen.

Bestimmtheitsmaß

Ein hohes Bestimmtheitsmaß [math]R_i^2[/math] der linearen Regressionen

[math]x_i = d_{i0} + \sum_{j=1\atop j\neq i}^p d_{ji} x_j[/math],

d. h. der [math]i[/math]-te Regressor wird durch alle anderen Regressoren gut vorhergesagt, zeigt Multikollinearität an.

Toleranz

Die Toleranz [math]T_i = 1-R_i^2[/math] wird zur Einschätzung der Multikollinearität benutzt. Ein Wert von [math]T_i \lt 0{,}2[/math] deutet auf eine starke Multikollinearität hin.

Varianzinflationsfaktor (VIF)

Je größer der Varianzinflationsfaktor [math]VIF_i = \tfrac{1}{1-R_i^2}[/math], desto stärker sind die Hinweise auf Multikollinearitäten. Einen definitiven Wert, ab wann der VIF eine (zu) hohe Multikollinearität anzeigt, gibt es nicht. Als Daumenregel werden häufig VIF-Werte von über 10 als „zu hoch“ eingestuft.[1]

Konditionsindex

Die Matrix [math]X^\prime X[/math] ist positiv semi-definit, d. h. alle Eigenwerte [math]\lambda_i[/math] der Matrix sind positiv oder Null. Wird die Matrix singulär, dann ist mindestens ein Eigenwert gleich Null. Ist der Konditionsindex

[math]KI_j = \sqrt{\frac{\lambda_j}{\min_i \lambda_i}}[/math]

für ein [math]KI_j[/math] größer als 30 spricht man ebenfalls von starker Multikollinearität.

Einzelnachweise

  1. Siehe für die Daumenregel und eine Diskussion dazu: Wooldridge, Introductory Econometrics:A Modern Approach, 2013, S. 98.

Literatur

  • Backhaus, K., Erichson, B., Plinke, W., Weiber, R.: Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung. Berlin u. a., 13. Auflage 2013, S.93–96. ISBN 978-3-642-16490-3

Siehe auch


Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Multikollinearität (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.