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Mittelwertsatz der Integralrechnung


Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, ohne den tatsächlichen Wert auszurechnen und liefert einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis.

Aussage

Hier wird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet:

Sei [math]f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}[/math] eine stetige Funktion, sowie [math]g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}[/math] integrierbar und entweder [math]g\ge0[/math] oder [math]g\le0[/math] (d.h. ohne Vorzeichenwechsel). Dann existiert ein [math]\xi \in [a,b][/math], so dass

[math]\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(\xi)\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}[/math]

gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für [math]g=1[/math] als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz. Für [math]g=1[/math] bekommt man den wichtigen Spezialfall:

[math]\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} = f(\xi)(b-a)[/math],

der sich geometrisch leicht deuten lässt: Die Fläche unter der Kurve zwischen [math]a[/math] und [math]b[/math] ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks mittlerer Höhe.

Beweis

Sei [math]g(x)\ge 0[/math] auf dem Intervall [math][a,b][/math]. Der andere Fall kann durch Übergang zu [math]-g[/math] auf diesen zurückgeführt werden. Sind [math]k[/math] und [math]K[/math] das Infimum bzw. das Supremum von [math]f[/math] auf [math][a,b][/math], so folgt aus [math]k \le f(x) \le K[/math] daher [math]kg(x) \le f(x)g(x) \le Kg(x)[/math]. Mit der Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals ergibt sich:

[math]k\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \leq \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \leq K\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}.[/math]

Bezeichne [math]I = \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}.[/math] Ist [math]I=0[/math] folgt die Aussage sofort. Für positives [math]I[/math] gilt

[math]k\leq \frac{1}{I}\cdot\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \leq K.[/math]

Bezeichnen wir diesen Wert mit [math] \eta=\frac{1}{I}\cdot\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}[/math], so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es ein [math]\xi \in [a,b] [/math] mit [math] f(\xi) = \eta,[/math] welcher das Gewünschte leistet. Man kann sogar zeigen, dass [math]\xi[/math] im Innern des Intervalls [math](a,b)[/math] gefunden werden kann.

Bedingung an g

Die Bedingung, dass [math]g\ge0[/math] oder [math]-g\ge0[/math] gilt, ist wichtig. In der Tat gilt der Mittelwertsatz für Funktionen [math]g[/math], die diese Bedingung nicht erfüllen, im Allgemeinen nicht, denn für [math][a,b]=[-1,1][/math] und [math]f(x)=g(x)=x[/math] ist

[math]\int\limits_a^b f(x)\cdot g(x) \mathrm{dx}=\tfrac23[/math]

und

[math]f(\xi)\cdot\int\limits_a^b g(x)\mathrm{dx}=0[/math] für alle [math]\xi\in[a,b][/math].

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien [math]f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}[/math] Funktionen, [math]f[/math] monoton und [math]g[/math] stetig. Dann existiert ein [math]\xi \in [a,b][/math], so dass

[math]\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(a)\int\limits_{a}^{\xi}{g(x)dx}+f(b)\int\limits_{\xi}^{b}{g(x)dx}.[/math]

Im Fall, dass [math]f[/math] sogar stetig differenzierbar ist, kann man [math]\xi \in (a,b)[/math] wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

Siehe auch

Literatur


Kategorien: Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz der Integralrechnung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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