Minkowski-Ungleichung - LinkFang.de





Minkowski-Ungleichung


Die Minkowski-Ungleichung ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie besagt, dass die Dreiecksungleichung in den Lp-Räumen gilt und liefert damit, dass es sich bei diesen Räumen um normierte Räume handelt.

Sie ist nach Hermann Minkowski benannt, der die Ungleichung für unendliche Summen erstmals 1896 im ersten Band seiner Geometrie der Zahlen zeigte[1].

Formulierung

Gegeben sei ein Maßraum [math](X, \mathcal A, \mu) [/math], eine Zahl [math]p \in [ 1, \infty ][/math] sowie messbare Funktion en [math] f, g : X \to \overline {\mathbb K} [/math], wobei [math] \mathbb K= \R [/math] oder [math] \mathbb K = \C [/math] ist. Mit der Vereinbarung [math] \infty^p = \infty, \; \infty^{-p} =0 [/math] für [math] p \in (0, \infty) [/math] definiert man für [math] p \in [1, \infty) [/math]

[math] I_p(f):= \left( \int_X |f|^p \mathrm d \mu \right)^{\tfrac 1p} [/math]

und für [math] p= \infty [/math]

[math] I_{\infty}(f)= \mathrm{ess} \sup_{x\in X} f(x) [/math],

das wesentliche Supremum der Funktion [math] f [/math]. Die Minkowski-Ungleichung lautet dann

[math] I_p(f+g)\leq I_p(f)+I_p(g) [/math]

für beliebige messbare [math] f,g [/math] und [math] p \in [1, \infty] [/math].

Sind speziell die [math] f,g \in \mathcal L^p(X, \mathcal A, \mu) [/math] (beziehungsweise in [math] L^p(X, \mathcal A, \mu) [/math]), so ist [math] I_p(f)= \|f\|_p [/math] die [math]L^p[/math]-Norm (beziehungsweise die [math] \mathcal L^p[/math]-Halbnorm) und die Minkowski-Ungleichung lautet

[math] \|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p \lt \infty [/math]

Im Fall [math]1 \lt p \lt \infty[/math] liegt Gleichheit genau dann vor, wenn f und g positiv linear abhängig sind (d.h. es gibt [math]\lambda\ge0[/math] mit [math]f=\lambda\,g[/math] oder [math]g=\lambda\,f[/math]).

Beweis

Die Minkowski-Ungleichung ist für [math]p=1[/math] und [math]p = \infty[/math] trivial. Es sei daher [math]1 \lt p \lt \infty[/math]. Da [math]x \mapsto |x|^p[/math] eine konvexe Funktion ist, gilt

[math]|f+g|^p = 2^p \cdot \left|\frac{1}{2}\, f + \frac{1}{2}\, g\right|^p \leq 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)[/math]

und daher [math]f+g \in L^p(S)[/math].

Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit [math]\|f+g\|_p \gt 0[/math]. Es gilt:

[math] \begin{align} |f+g|^p &= (|f+g|)(|f+g|)^{p-1}\\ &\leq (|f|+|g|)(|f+g|)^{p-1}\\ &= \left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\ \end{align} [/math]

Sei [math]q:= \tfrac{p}{p - 1}[/math]. Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt: [math]\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q}=1[/math]

Nach der Hölder-Ungleichung gilt:

[math] \begin{align} \| f+g \|_{p}^{p} = \int_S|f+g|^p &\leq \int_S\left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \int_S\left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\ &\leq \|f\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q + \|g\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q\\[.2em] &= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\||f+g|^{p-1}\|_{q}\\ &= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\left(\int_S |f+g|^{(p-1)\cdot \frac{p}{p - 1}}\right)^{1 - \frac{1}{p}}\\ &= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\int_S |f+g|^{p}}{\left(\int_S |f+g|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\\ &= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\| f+g \|_{p}^{p}}{\| f+g \|_{p}},\\ \end{align} [/math]

Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit [math]\tfrac{\| f+g \|_{p}}{\| f+g \|_{p}^{p}}[/math].

Spezialfall

Wie die Höldersche Ungleichung kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen (im ersten Bsp. unten: endliche Folgen, also n-Tupel mit reellen (oder komplexen) Einträgen) spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:

[math]\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}[/math]

für alle reellen (oder komplexen) Zahlen [math]x_1, \ldots , x_n[/math], [math]y_1, \ldots, y_n [/math]. Die Minkowski-Ungleichung ist somit die Dreiecksungleichung für die p-Normen. Allgemein kann man, für unendliche Folgen [math]{(x_n)}_n[/math], [math]{(y_n)}_n[/math], auch

[math]\left( \sum_{k=1}^\infty |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^\infty |y_k|^p \right)^{1/p}[/math]

schreiben. (Dies gilt stets: Denn wenn eine der beiden Summen rechterhand divergiert, so gilt die Ungleichung dann wegen [math]\infty \ge r[/math] für alle [math]r \in [0,\infty][/math].)

Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)

Seien [math](S_1, \mu_1)[/math] und [math](S_2,\mu_2)[/math] zwei Maßräume und [math]F: S_1 \times S_2 \to \mathbb K[/math] eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):

[math]\left[\int_{S_2}\left(\int_{S_1}|F(x,y)|\,d\mu_1(x)\right)^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x),[/math]

für [math]p \lt \infty[/math]. Ist [math]1 \lt p \lt \infty[/math] und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich [math]|F|[/math] als Produkt [math]|F|(x,y) = \varphi(x)\psi(y)[/math] zweier messbarer Funktionen [math]\phi: S_1 \to [0,\infty)[/math] und [math]\psi: S_2 \to [0,\infty)[/math] schreiben lässt.

Wählen wir [math](S_1, \mu_1)[/math] als die zwei-elementige Menge [math]\{1,2\}[/math] mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit [math]f_i = F(i, \,\cdot\,)[/math] für [math]i = 1,2[/math] ist nämlich

[math] \begin{align} \|f_1 + f_2\|_p &= \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \\ &\le\int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x)\\ &=\|f_1\|_p + \|f_2\|_p. \end{align}[/math]

Weblinks

Literatur

Einzelnachweise

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 226.

Kategorien: Ungleichung | Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Ungleichung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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