Minimalpolynom - LinkFang.de





Minimalpolynom


Unter einem Minimalpolynom versteht man im Allgemeinen ein Polynom minimalen Grades, das gerade noch eine Eigenschaft erfüllt, die von Faktoren kleineren Grades nicht mehr erfüllt wird. Genauer: In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik gibt das Minimalpolynom die minimale lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen einer Matrix oder allgemeiner eines Elementes einer Algebra an.

Definition

Es seien [math]K[/math] ein Körper und [math]A[/math] eine unitäre [math]K[/math]-Algebra. Dann ist das Minimalpolynom eines Elementes [math]x\in A[/math] das normierte Polynom kleinsten Grades, das [math]x[/math] als Nullstelle hat.

Das Minimalpolynom kann auch als normierter Erzeuger des Kerns des Homomorphismus

[math]K[T]\to A,\quad a_0+a_1T+\cdots+a_dT^d\mapsto a_0+a_1x+\cdots+a_dx^d[/math],

des Einsetzungshomomorphismus von [math]x[/math], beschrieben werden, wobei [math]K[T][/math] der Ring der Polynome mit Koeffizienten aus [math]K[/math] ist.

In einer endlichdimensionalen Algebra besitzt jedes Element ein eindeutiges Minimalpolynom, in einer unendlichdimensionalen muss das nicht zutreffen. Dort nennt man die Elemente, die ein Minimalpolynom haben, algebraische Elemente über dem Grundkörper; Elemente, für die das nicht zutrifft, transzendente Elemente.

Lineare Algebra

Das Minimalpolynom [math]p[/math] einer quadratischen [math]n\times n[/math]-Matrix [math]A[/math] über einem Körper [math]K[/math] ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in [math]K[/math], so dass [math]p\left(A\right)=0[/math] (die Nullmatrix) ist.

Folgende Aussagen für [math]\lambda[/math] aus [math]K[/math] sind äquivalent:

  • [math]\lambda[/math] ist Nullstelle von [math]p[/math], d. h. [math]p\left(\lambda\right)=0[/math],
  • [math]\lambda[/math] ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von [math]A[/math],
  • [math]\lambda[/math] ist ein Eigenwert von [math]A[/math].

Die Vielfachheit einer Nullstelle [math]\lambda[/math] von [math]p[/math] bestimmt die Länge der längsten Hauptvektor-Kette zum Eigenwert [math]\lambda[/math], d. h., beträgt die Vielfachheit z. B. 4, dann existiert eine Kette von vier zueinander linear unabhängigen Hauptvektoren (der Stufen 1 bis 4) zum Eigenwert [math]\lambda[/math]. Falls noch weitere Hauptvektorketten zum Eigenwert [math]\lambda[/math] existieren, die von dieser Kette der Länge 4 linear unabhängig sind, dann sind sie auf keinen Fall länger. Somit ist die Größe des größten zu [math]\lambda[/math] gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von [math]A[/math] identisch mit der Vielfachheit von [math]\lambda[/math] im Minimalpolynom [math]p[/math].

Unter der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts [math]\lambda[/math] von [math]A[/math] versteht man dagegen die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Anders ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts [math]\lambda[/math] der quadratischen Matrix [math]A[/math] ist die Dimension des Lösungsraums von [math]\left(A-\lambda\cdot E\right)x=0[/math].

Etwas allgemeiner kann man (auch ohne Festlegung auf eine bestimmte Basis) zu einem Endomorphismus [math]F[/math] eines Vektorraums [math]V[/math] den Kern des Einsetzungshomomorphismus von [math]F[/math] aus der Definition untersuchen, dies führt dann auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen zu einem Minimalpolynom, wenn dieser Kern nicht der Nullvektorraum ist. Ein einfaches Beispiel sind die Projektionsabbildungen [math]P[/math], die definitionsgemäß idempotent sind, also die Relation [math]P^2-P=0[/math] erfüllen. Jede Projektion hat also eines der Polynome [math]p\left(x\right)=x^2-x[/math], [math]p\left(x\right)=x[/math] oder [math]p\left(x\right)=x-1[/math] als Minimalpolynom.

Körpertheorie

In der Körpertheorie ist das Minimalpolynom ein Begriff, der bei einer Körpererweiterung auftritt.

Sei [math]L/K[/math] eine Körpererweiterung, [math]K[X][/math] der Polynomring zu [math]K[/math] mit der Unbestimmten [math]X[/math] und sei [math]a\in L[/math] algebraisch, das heißt, es existiert [math]0\neq p(X)\in K[X][/math] mit [math]p(a)=0[/math]. Dann existiert ein Polynom [math]m(X)\in K[X][/math] (genannt das Minimalpolynom) mit den Eigenschaften

  1. [math]m(X)[/math] ist normiert
  2. [math]m(a)=0[/math]
  3. [math]m(X)[/math] hat minimalen Grad, d. h. [math]\forall g(X)\in K[X]\setminus\{0\}[/math] gilt [math]\deg(g)\lt\deg(m)\; \implies\; g(a)\neq 0[/math]
  4. [math]m(X)[/math] ist eindeutig (durch [math]a[/math] bestimmt), d. h. für jedes weitere [math]m^\ast(X)\in K[X][/math], welches die Eigenschaften 1-3 erfüllt, gilt schon [math]m^\ast(X)=m(X)[/math]

Betrachtet man den Erweiterungskörper [math]L[/math] als Vektorraum über [math]K[/math] und ein bestimmtes Element [math]\alpha\in L[/math] als Endomorphismus auf [math]L[/math] (durch die Abbildung [math]F_\alpha\colon L\to L, x\mapsto\alpha\cdot x[/math]), so kommt man bei einem algebraischen Element [math]\alpha[/math] zum selben Minimalpolynom (im Sinn der linearen Algebra) wie in der Körpertheorie.

Eigenschaften

  • Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
  • Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element [math]x[/math] als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von [math]x[/math].
  • Der Grad des Minimalpolynoms von [math]x[/math] ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung [math]K(x)/K[/math].

Siehe auch: Zerfällungskörper, Satz von Cayley-Hamilton

Beispiele

  • Betrachte die Körpererweiterung [math]\Bbb Q(i)/\Bbb Q[/math] mit der imaginären Einheit [math]\textstyle i[/math]:
    Das Minimalpolynom von [math]\textstyle i[/math] ist [math]\textstyle x^2+1[/math], denn es hat [math]\textstyle i[/math] als Nullstelle, ist normiert, und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in [math]\Bbb Q[/math].
  • Das Polynom [math]\textstyle x^3+x[/math] ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als [math](x^2+1)\cdot x[/math] darstellen lässt und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.

Beispiele für Minimalpolynome eines algebraischen Elements

  • Minimalpolynome über [math]\Bbb Q[/math] von [math]\sqrt{a}[/math], wobei [math]\sqrt{a}[/math] irgendeine komplexe Quadratwurzel ist :
    [math]\sqrt{a}[/math] ist schon mal eine Nullstelle von [math]\textstyle X^2 - a[/math]. Dieses Polynom ist aber irreduzibel über [math]\Bbb Q[/math], wenn [math]\sqrt{a} \notin \Bbb Q[/math].
    Wenn [math]\sqrt{a} \in \Bbb Q[/math], dann ist das minimale Polynom [math]X - \sqrt{a}[/math]
  • Minimalpolynome über [math]\Bbb Q[/math] von [math]\xi_3 = \exp((2\pi i) / 3)[/math]: Es gilt [math]\xi_3^3 = 1[/math]. Also ist [math]\xi_3[/math] Nullstelle von [math]X^3 - 1[/math]. Dieses Polynom ist aber nicht irreduzibel, denn es hat die Faktorisierung [math](X-1)(X^2+X+1)[/math].
    Offensichtlich ist [math]\xi_3[/math] keine Nullstelle von [math]X - 1[/math]. Also muss [math]\xi_3[/math] Nullstelle von [math]X^2+X+1[/math] sein. Und dieses Polynom ist irreduzibel (z. B durch Reduktion modulo 2)

Literatur

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
  • Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Kategorien: Algebraische Zahlentheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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