Maximumsnorm - LinkFang.de





Maximumsnorm


Die Maximumsnorm, Maximumnorm oder Tschebyschew-Norm[1] ist eine spezielle Norm für Funktionen beziehungsweise für Vektoren oder Matrizen. Sie ist ein Spezialfall der Supremumsnorm.

Definition

Sei [math]B[/math] ein kompakter Raum und [math]C(B)[/math] die Menge aller auf [math]B[/math] reell- oder komplexwertigen stetigen Funktionen. Dann heißt die Funktion [math]\| \cdot \|_\max \colon C(B) \to \R[/math], die durch

[math]\|f\|_\max := \max_{t \in B} |f(t)|[/math]

definiert ist, Maximumsnorm. Die Funktion wird auch mit [math]\|\cdot \|_\infty[/math] bezeichnet und erfüllt die drei charakteristischen Eigenschaften einer Norm.[2] Wohldefiniert ist die Maximumsnorm aufgrund des Satzes vom Minimum und Maximum, der die Existenz des Maximums sichert.

Eigenschaften

  • Zusammen mit dem Produkt [math](fg)(x) := f(x) g(x)[/math] ist der normierte Raum [math]( C(B), \| \cdot \| )[/math] eine kommutative Banachalgebra.[3]

Spezialfälle

Ein wichtiger Spezialfall ist die Maximumsnorm für Vektoren [math]x \in \R^n[/math]. Wählt man [math]B = \{1, \ldots , n\}[/math] und stattet die Menge mit der diskreten Topologie aus, dann ist [math]B[/math] ein kompakter Raum und jede reell- oder komplexwertige Funktion auf [math]B[/math] ist stetig. Somit entspricht der Raum [math]C(\{1, \ldots , n\})[/math] dem n-dimensionalen Vektorraum [math]\R^n[/math] und die Maximumsnorm auf Vektoren ist ein Spezialfall der Maximumsnorm für stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Sieht man eine Matrix [math]A \in \R^{m \times n}[/math] als entsprechend langen Vektor im [math]\R^{m \cdot n}[/math] an, ist es auch möglich die Maximumsnorm auf Matrizen zu definieren.

Als Vektornorm

Für einen Vektor [math]x = (x_1, \ldots , x_n) \in \R^n[/math] nennt man

[math]\|x\|_{\max} := \max(|x_1|, \ldots , |x_n|)[/math]

die Maximumsnorm von [math]x[/math].[4] Die Maximumsnorm kann auch als Grenzfall der p-Normen [math]\textstyle \| x \|_p := (\sum_{i=1}^n | x_i |^p)^{1/p}[/math] aufgefasst werden. Lässt man [math]p[/math] gegen unendlich laufen, so erhält man aus der p-Norm die Maximumsnorm.[4] Aus diesem Grund wird die Maximumsnorm für Vektoren auch als ∞-Norm (Unendlich-Norm) bezeichnet.

Als Matrixnorm

Analog zur Vektornorm hat die Maximumsnorm für Matrizen [math]A = (a_{ij})_{i,j} \in \R^{m \times n}[/math] die Darstellung

[math]\| A \|_\max := \max_{{i=1, \ldots ,m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} | \,.[/math]

Diese Norm ist jedoch nicht submultiplikativ, daher wird im Zusammenhang mit Matrizen statt dieser Norm oftmals die submultiplikative Gesamtnorm [math]\textstyle \| A \|_G := \sqrt{mn} \cdot \max_{{i=1, \ldots ,m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} |[/math] verwendet.

Beispiele

Spaltenvektor

Für den Spaltenvektor [math](-5,7,4,-9)^T[/math] gilt

[math]\left\| \begin{pmatrix} -5\\ 7\\ 4\\ -9 \end{pmatrix} \right\|_\max = \max(|-5| , |7| , |4|, |-9|) = 9\,.[/math]

Die Maximumsnorm von [math](-5,7,4,-9)^T[/math] ist also 9.

Funktion

Für die gebrochenrationale Funktion [math]f \colon [-2,2] \to \R[/math] definiert durch [math]f(x) = 1000 (x^2-6)/(x^3-6000)[/math] gilt

[math]\|f\|_\max = \max_{x \in [-2,2]}\left(1000 \left|\frac{x^2-6}{x^3-6000}\right|\right) = 1\,.[/math]

Dies kann durch zweifache Ableitung und Bestimmung der Extremwerte gezeigt werden. Die Maximumsnorm der Funktion [math]f[/math] auf dem Intervall [math][-2,2][/math] ist also 1.

Supremumsnorm

Hauptartikel: Supremumsnorm

Im Gegensatz zur Maximumsnorm wird die Supremumsnorm [math]\textstyle \|f\|_\sup := \sup_{t \in X}|f(t)|[/math] nicht für stetige, sondern für beschränkte Funktionen [math]f[/math] definiert. In diesem Fall ist es nicht notwendig, dass [math]X[/math] kompakt ist; [math]X[/math] kann eine beliebige Menge sein. Da stetige Funktionen auf kompakten Räumen beschränkt sind, ist die Maximumsnorm ein Spezialfall der Supremumsnorm.

Einzelnachweise

  1. Tschebyschew-Norm. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  2. Maximumnorm. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  3. 3,0 3,1 Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2006, ISBN 3-540-34187-0, S. 38.
  4. 4,0 4,1 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 14. Auflage Teubner Verlag, 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8, S. 11–12.

Kategorien: Norm (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Maximumsnorm (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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