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Markow-Ungleichung (Stochastik)


In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Markow-Ungleichung (nach Andrei Andrejewitsch Markow) eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable eine reelle Konstante überschreitet.

Satz

Es seien [math](\Omega,\Sigma,P)[/math] ein Wahrscheinlichkeitsraum, [math]X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}[/math] eine reellwertige Zufallsvariable, [math]a[/math] eine reelle Konstante und ferner [math]h:\mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)[/math] eine monoton wachsende Funktion gegeben. Die allgemeine Markow-Ungleichung besagt dann:

[math]h(a) P\left[ X \geq a \right] \leq \operatorname{E}\left[ h(X) \right],[/math]

was man für [math]h(a) \gt 0[/math] zu

[math]P \left[ X \geq a \right] \leq \frac{\operatorname{E}\left[h(X)\right]}{h(a)}.[/math]

umschreiben kann.

Beweis

Sei [math]I_A(x)[/math] die charakteristische Funktion der Menge [math]A[/math]. Dann gilt:

[math]h(a) P \left[ X \geq a \right] = \int I_{\{X \geq a\}} h(a) \ dP \leq \int I_{\{X \geq a\}} h(X) \ dP \leq \operatorname{E}\left[h(X)\right].[/math]

Varianten

  • Setzt man [math]h(x) = x [/math] und betrachtet die reelle Zufallsvariable [math]|X|[/math], so erhält man für [math]a \gt 0[/math] den bekannten Spezialfall der Markow-Ungleichung
[math]P\left[|X| \geq a\right] \leq \frac{\operatorname{E}\left[|X|\right]}{a}.[/math]
Wie man diese Ungleichung mit schulgemäßen Mitteln aus einem unmittelbar einsichtigen Flächen­vergleich folgern und dann daraus eine Version der Ungleichung von Tschebyschew herleiten kann, findet man in [1].
  • Betrachtet man [math]a = c \cdot \operatorname{E}[|X|][/math] für ein [math]c\gt0[/math], so folgt der bekannte Spezialfall der Markow-Ungleichung, welcher die Wahrscheinlichkeit für das [math]c[/math]-fache Übertreffen des Erwartungswertes begrenzt:
[math]P\left[|X| \geq c \cdot \operatorname{E}[|X|] \right] \leq \frac{\operatorname{E}\left[|X|\right]}{c \cdot \operatorname{E}\left[|X|\right]} = \frac{1}{c}.[/math]
  • Ist [math]h(x) = I_{\mathbb{R}^+}(x)\, x^2[/math] und wendet man die Markow-Ungleichung auf eine Zufallsvariable [math]Y = |X - \operatorname{E}[X]|[/math] an, so erhält man für [math]a \gt 0[/math] eine Version der Tschebyscheff-Ungleichung:
[math]P\left[|X - \operatorname{E}[X]| \geq a\right] \leq \frac{\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])^2]}{a^2} = \frac{\operatorname{Var}[X]}{a^2}.[/math]
  • Für beschränkte Zufallsvariablen existiert die folgende Markow-artige Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable ihren Erwartungswert um den Faktor [math](1-c)[/math] unterbietet. D.h., seien [math]a,b \gt 0[/math] und sei [math]X[/math] eine Zufallsvariable mit [math]|X| \leq a[/math] und [math]\operatorname{E}\left[|X|\right] \geq \frac{a}{b}[/math]. Dann gilt für alle [math]c\gt0[/math]:
[math]P\left[ |X| \leq (1-c)\operatorname{E}\left[|X|\right] \right] \leq 1-\frac{c}{b}.[/math]
Der Beweis dieser Aussage ist ähnlich dem Beweis der Markow-Ungleichung.[2]
  • Wählt man [math]h(x) = e^{tx}[/math], erhält man für geeignetes [math]t \gt 0[/math] eine sehr gute Abschätzung, siehe auch Chernoff-Ungleichung. Man kann zeigen, dass diese Abschätzung unter gewissen Voraussetzungen sogar optimal ist.

Einzelnachweise

  1. H.Wirths : Der Erwartungswert - Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In : Mathematik in der Schule 1995/Heft6, S. 330–343.
  2. Piotr Indyk, Sublinear Time Algorithms for Metric Space Problems , Proceedings of the 31st Symposium on Theory of Computing (STOC'99), 428–434, 1999.

Siehe auch


Kategorien: Ungleichung | Stochastik

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Markow-Ungleichung (Stochastik) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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