Maßraum - LinkFang.de





Maßraum


Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition

Das Tripel [math](\Omega, \mathcal{A}, \mu)[/math] heißt Maßraum, wenn

  • [math] \Omega [/math] eine beliebige, nichtleere Menge ist. [math] \Omega [/math] wird dann auch Grundmenge genannt.
  • [math]\mathcal{A}[/math] eine σ-Algebra über der Grundmenge [math] \Omega [/math] ist.
  • [math] \mu [/math] ein Maß ist, das auf [math]\mathcal{A}[/math] definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum [math] (\Omega, \mathcal A ) [/math] versehen mit einem Maß [math] \mu [/math] definieren.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge [math] \Omega = \mathbb{N} [/math], als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge [math] \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathbb{N}) [/math] und als Maß das Diracmaß auf der 1: [math] \mu=\delta_1 [/math].

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge [math] \mathbb{R} [/math], versehen mit der borelschen σ-Algebra [math] \mathcal{B}(\mathbb{R}) [/math] und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume [math](\Omega,\mathcal{A},P)[/math] sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge [math]\Omega[/math], der Ereignisalgebra [math]\mathcal{A}[/math] und dem Wahrscheinlichkeitsmaß [math]P[/math].

Klassen von Maßräumen

Endliche Maßräume

Ein Maßraum [math](\Omega, \mathcal{A}, \mu)[/math] wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also [math] \mu(\Omega)\lt \infty [/math] ist.

σ-endliche Maßräume

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra [math] \mathcal A [/math]) ist.

Vollständige Maßräume

Hauptartikel: Vollständiger Maßraum

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume

Ist [math] \mathcal A [/math] eine σ-Algebra über der Grundmenge [math] \Omega [/math] und [math] \nu [/math] ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel [math] (\Omega, \mathcal A, \nu) [/math] einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume

Ein Maßraum [math] (\Omega, \mathcal A, \mu ) [/math] heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem [math] \mathcal S \subset \mathcal A [/math] existiert, so dass für alle [math] A \in \mathcal A [/math] und beliebige [math] \varepsilon \gt 0 [/math] ein [math] S \in S [/math] existiert, so dass [math] \mu(A \triangle S) \lt \varepsilon [/math] ist.

Zerlegbare Maßräume

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume

Hauptartikel: Lokalisierbarer Maßraum

Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

Literatur


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Maßraum (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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