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Lokal konstante Funktion


In der Mathematik heißt eine Funktion [math]f\colon T \to M[/math] von einem topologischen Raum [math]T[/math] in eine Menge [math]M[/math] lokal konstant, wenn für jedes [math]x \in T[/math] eine Umgebung [math]U[/math] von [math]x[/math] existiert, auf der [math]f[/math] konstant ist.

Eigenschaften

  • Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
  • Jede lokal konstante Funktion von [math] \R[/math] in eine beliebige Menge [math]M[/math] ist konstant, da [math] \R[/math] zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
  • Jede lokal konstante holomorphe Funktion [math]f\colon M \to \C[/math] von einer offenen Menge [math]M[/math] in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn [math]M[/math] ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
  • Allgemein ist jede lokal konstante Funktion konstant auf jeder Zusammenhangskomponente, für lokal zusammenhängende Räume gilt auch die Umkehrung.
  • Eine Abbildung [math]f\colon T \to D[/math] von einem topologischen Raum [math]T[/math] in einen diskreten Raum [math]D[/math] ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
  • Jede Abbildung [math]f\colon D \to T[/math] von einem diskreten Raum [math]D[/math] in einen beliebigen topologischen Raum [math]T[/math] ist lokal konstant.
  • Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele

  • Die Funktion [math]f\colon \Q \to \Q[/math], definiert durch [math]f(x)=0[/math] für [math]x \lt \pi[/math] und [math]f(x)=1[/math] für [math]x \gt \pi[/math] ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass [math]\pi[/math] irrational ist, da so [math]\{x \mid x \lt \pi\}[/math] und [math]\{x \mid x \gt \pi\}[/math] offene Mengen sind, die [math] \Q[/math] überdecken.)
  • Die Funktion [math]g\colon \R \setminus\{0\} \to \R[/math], definiert durch [math]g(x)=0[/math] für [math]x \lt 0[/math] und [math]g(x)=1[/math] für [math]x \gt 0[/math], ist ebenso lokal konstant.
  • Die Vorzeichenfunktion ist nicht lokal konstant.
  • Treppenfunktionen sind nicht lokal, sondern stückweise konstant

Kategorien: Mengentheoretische Topologie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Lokal konstante Funktion (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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