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Littles Gesetz


Littles Gesetz, auch als Littles Theorem, Satz von Little oder Formel von Little bezeichnet, ist eine bedeutende Gesetzmäßigkeit in der Warteschlangentheorie. Es wurde 1961 von John D. C. Little formuliert und bewiesen.

Littles Gesetz besagt, dass die durchschnittliche Anzahl von Kunden [math]L[/math] in einem Wartesystem, welches sich in einem stabilen Zustand befindet, gleich dem Produkt ihrer durchschnittlichen Ankunftsrate [math]\lambda[/math] und ihrer durchschnittlichen Verweildauer im System [math]W[/math] ist.

[math]L = \lambda W[/math]

Obwohl dies intuitiv sinnvoll erscheint, ist es ein beachtenswertes Ergebnis: Es impliziert, dass dieses Verhalten vollkommen unabhängig von den benutzten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist und somit keine Annahmen über die Verteilung der Ankunftszeiten oder die Abfertigungsdisziplin getroffen werden müssen. So ist die durchschnittliche Wartezeit bei FIFO genauso groß wie bei LIFO.

Littles Gesetz gilt nicht nur für eine isolierte Bedienstation, sondern auch für Netzwerke aus Wartesystemen. Beispielsweise kann man in einer Bank die Warteschlange eines einzelnen Schalters als Subsystem ansehen und jeden zusätzlichen Schalter als weiteres Subsystem. Littles Gesetz kann sowohl auf die Subsysteme einzeln, als auch auf das gesamte System angewendet werden. Die einzige Bedingung ist, dass das System stabil ist - es darf sich nicht in einem Übergangsstadium (Start-, Endphase) befinden.

Beispiel

Ein Maschinenarbeitsplatz bzw. Serviceschalter, an welchem nur ein Werkstück bzw. Kundenauftrag gleichzeitig bearbeitet werden kann, soll eingerichtet werden. Zum Arbeits- bzw. Serviceplatz gehört ein Wartebereich für neu ankommende Werkstücke bzw. Kunden. Die mittlere Durchlaufzeit ergibt sich als die Summe aus Warte- und Bedienzeit, [math]W = W_Q + W_S[/math]. Die Ankunftsrate [math]\lambda[/math] sei bekannt. Mit Littles Gesetz kann die mittlere Anzahl an Werkstücken bzw. Kunden im Gesamtsystem [math]L = \lambda W[/math] oder nur im Wartebereich [math]L_Q = \lambda W_Q[/math] bestimmt werden. Mit diesen Ergebnissen kann bspw. die Größe des Wartebereichs entsprechend dimensioniert werden. Der noch fehlende Parameter kann in dieser Konstellation mit Hilfe der Formel für M/M/1 queue berechnet werden.

Literatur

  • Little, J. D. C.: A Proof of the Queueing Formula L = λ W. In: Operations Research. 9, 1961, 383–387. (http://www.jstor.org/pss/167570 ).
  • Arnold, Dieter; Furmans, Kai: Materialflusslehre in Logistiksystemen. 5.,erweiterte Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlagfr:Loi de Little

Kategorien: Stochastik | Satz (Mathematik)

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