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Lipschitz-Stetigkeit


Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz), auch Dehnungsbeschränktheit, bezeichnet in der Analysis eine Verschärfung der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen kann eine Lipschitz-stetige Funktion sich nur beschränkt schnell ändern: Alle Sekanten einer Funktion haben eine Steigung, deren Betrag nicht größer ist als eine Konstante, die Lipschitz-Konstante.

Verallgemeinerungen der Lipschitz-Stetigkeit sind die Hölder-Stetigkeit sowie die Lokale Hölder-Stetigkeit.

Definition

Eine Funktion [math]f\colon\R\rightarrow\R[/math] heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante [math]L[/math] existiert, so dass

[math]|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|[/math]

für alle [math]x_1, x_2 \in \R[/math] gilt.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien [math](X,d_X)[/math] und [math](Y,d_Y)[/math] metrische Räume. Eine Funktion [math]f\colon X\rightarrow Y[/math] heißt Lipschitz-stetig, falls es eine reelle Zahl [math]L[/math] gibt, sodass

[math]\forall x_1,x_2 \in X : d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)[/math]

erfüllt ist. [math]L[/math] wird Lipschitz-Konstante genannt und es gilt stets [math]L \geq 0[/math]. Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von [math]f[/math] nach oben durch [math]L[/math] beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch, sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion [math]f\colon X\rightarrow Y[/math] heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in [math]X[/math] eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von [math]f[/math] auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge [math]A\subset X[/math] definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume [math](A,d_X|A)[/math] und [math](Y,d_Y)[/math] ist.

Eigenschaften

Lipschitz-stetige Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig (wähle ganz [math]X[/math] als Umgebung und stets [math]L[/math] als Lipschitz-Konstante). Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig (wähle [math]\delta=\varepsilon/ L[/math] in der [math]\varepsilon[/math]-[math]\delta[/math]-Definition der Stetigkeit), und entsprechend sind Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Daher ist Lipschitz-Stetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion [math]f\colon[0,1]\rightarrow\R,~x\mapsto\sqrt x[/math] zwar Hölder-stetig mit Exponenten [math]1/2[/math] und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe Beispiel).

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht Lipschitz-stetig sind, z. B. [math]f\colon\R\rightarrow\R,~x\mapsto x^2[/math]. Eine differenzierbare Funktion [math]f\colon (a,b)\rightarrow\R[/math] mit [math]a,b\in\R\cup\{\pm\infty\}[/math] ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Anwendung

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktionen. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

Menge Lipschitz-stetiger Funktionen

Ist [math] X \subseteq \mathbb{R} [/math] (oder allgemeiner [math] \left( X,\, d_X \right) [/math] ein metrischer Raum), so wird die Menge der reellwertigen Lipschitz-stetigen Funktionen auf [math]X[/math] gelegentlich mit [math] \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math] bezeichnet.

Für [math]X \subseteq \mathbb{R}[/math] (oder allgemeiner für [math] X \subseteq \mathbb{R}^n [/math] mit der euklidischen Metrik) ist jede affin-lineare Funktion Lipschitz-stetig. Auf einem allgemeinen metrischen Raum sind immerhin alle konstanten Funktionen Lipschitz-stetig. Insbesondere ist [math] \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math] nicht leer und enthält die konstante Nullfunktion.

Sind [math] f,\,g \in \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math] und [math]\lambda \in \R[/math], so gilt [math] \lambda \, f \in \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math] sowie [math] f + g \in \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math]. Damit ist [math] \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math] ein reeller Vektorraum, ein Funktionenraum.

Ist die Menge [math]X[/math] zudem noch beschränkt, so gilt außerdem für das punktweise Produkt [math] f \cdot g \in \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math]. Damit wird [math] \mathrm{Lip}\left(X\right) [/math] zu einer Funktionenalgebra.

Beispiele

Für eine Lipschitz-stetige Funktion [math]f\colon(X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y)[/math] ist der Quotient

[math]\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}[/math]

mit [math]x_1\neq x_2 \in X[/math] durch jede Lipschitz-Konstante von [math]f[/math] nach oben beschränkt. Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.

Daher ist die Funktion [math]f\colon [0,1]\to\R[/math] mit [math]x\mapsto\sqrt x[/math] wegen

[math]\frac{|f(x_1)-f(0)|}{|x_1-0|}=\frac 1{\sqrt x_1}\xrightarrow{x_1\searrow 0}\infty[/math]

zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig, jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig und folglich auch nicht Lipschitz-stetig.

Für die Funktion [math]g\colon[a,b]\to\R[/math] mit [math]x\mapsto x^2[/math] folgt mit

[math]L:=\max_{x_1,x_2 \in [a,b]}(|x_1+x_2|)=2\max{(|a|,|b|)},[/math]

dass

[math]|g(x_1)-g(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|x_1+x_2|\cdot|x_1-x_2|\leq L\cdot |x_1-x_2|.[/math]

Das heißt, [math]L[/math] ist eine Lipschitz-Konstante für diese Funktion auf dem Intervall [math]\left[a,b\right][/math].

Weil für [math]g[/math] der Quotient gleich [math]|x_1+x_2|[/math] ist, folgt, dass [math]g[/math] nur für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für einen unbeschränkten jedoch nicht. Die ebenfalls durch [math]g(x)=x^2[/math] definierte Funktion [math]g\colon\R\to\R[/math] ist deshalb nicht Lipschitz-stetig.

Die Betragsfunktion [math]h\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math], definiert als

[math]h(x) = |x|[/math]

ist wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung [math]\bigl||x_1|-|x_2|\bigr| \leq |x_1-x_2|[/math] Lipschitz-stetig mit [math]L = 1[/math], aber sie ist (an der Stelle [math]x=0[/math]) nicht differenzierbar.

Literatur

Weblinks


Kategorien: Analysis

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