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Linearkombination


Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ausdrücken lässt.

Definition

Linearkombinationen endlich vieler Vektoren

Sei [math]V[/math] ein Vektorraum über dem Körper [math]K[/math]. Außerdem seien endlich viele Vektoren [math]v_1,\ldots,v_n[/math] aus [math]V[/math] gegeben. Dann nennt man jeden Vektor [math]v \in V[/math], der sich in der Form

[math] v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dotsb + a_n v_n = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i[/math]

mit Skalaren [math]a_1, \dotsc, a_n \in K[/math] schreiben lässt, eine Linearkombination von [math]v_1,\dotsc,v_n[/math]. Die Faktoren [math]a_1, \dotsc, a_n \in K[/math] in der obigen Darstellung nennt man die Koeffizienten der Linearkombination. Auch die Darstellung selbst wird als Linearkombination bezeichnet.

Beispiel: Im dreidimensionalen (reellen) Vektorraum [math]\mathbb{R}^3[/math] ist der Vektor [math]v = \left(\!\begin{smallmatrix} 16 \\ -4 \\ 3 \end{smallmatrix}\!\right)[/math] eine Linearkombination der Vektoren [math]v_1 = \left(\!\begin{smallmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{smallmatrix}\!\right)[/math] und [math]v_2 = \left(\!\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\!\right)[/math], denn

[math]\begin{pmatrix} 16 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.[/math]

Die Koeffizienten [math]a_1 = 2[/math] und [math]a_2 = 5[/math] sind in diesem Beispiel reelle Zahlen, denn [math]\mathbb{R}^3[/math] ist ein reeller Vektorraum.

Linearkombinationen beliebig vieler Vektoren

Linearkombinationen von unendlich vielen Elementen betrachtet man nur unter der Voraussetzung, dass in Wirklichkeit nur endlich viele hiervon in der Summe verwendet werden.

Sei [math]K[/math] ein Körper und [math]V[/math] ein [math]K[/math]-Vektorraum. Ferner sei [math](v_i)_{i \in I}[/math] eine durch die Indexmenge [math]I[/math] indizierte Familie von Vektoren [math]v_i \in V[/math]. Hat man dann zu jedem [math]i\in I[/math] einen Koeffizienten [math]a_i \in K[/math] derart, dass fast alle Koeffizienten Null sind, so ist

[math]v = \sum_{i \in I} a_i v_i[/math]

die zugehörige Linearkombination. Dass nur endlich viele Koeffizienten (und damit Summanden) von 0 verschieden sind, ist erforderlich, damit die Summe überhaupt definiert werden kann. Eine konvergente Reihe ist also im Allgemeinen keine Linearkombination ihrer Summanden.

Linearkombinationen in Linksmoduln

In einer weiter gehenden Verallgemeinerung ergibt der Begriff der Linearkombination bereits einen Sinn, wenn man Ringe statt Körpern und Linksmoduln statt Vektorräumen betrachtet. Viele der aus der linearen Algebra bekannten, einfachen Operationen lassen sich auch in dieser Allgemeinheit durchführen, lediglich das Auflösen nach einem Vektor aus einer Linearkombination kann misslingen, denn dazu muss man mit dem Inversen des Koeffizienten vor diesem Vektor multiplizieren und der Ring enthält diese Inversen in der Regel nicht.

Allgemeines

In einem Vektorraum [math]V[/math] ist jede Linearkombination von Vektor wieder ein Element des Vektorraums. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren wird ihre lineare Hülle genannt, sie ist stets ein Untervektorraum von [math]V[/math]. Lassen sich alle Vektoren in [math]V[/math] als Linearkombination aus einer Menge [math]M[/math] darstellen, dann ist [math]M[/math] ein Erzeugendensystem von [math]V[/math].

Der Nullvektor eines Vektorraums lässt sich immer als Linearkombination einer gegebenen Menge von Vektoren ausdrücken. Sind alle Koeffizienten einer solchen Linearkombination gleich 0 (Nullelement des zugrundeliegenden Körpers), so spricht man von einer trivialen Linearkombination. Sind die gegebenen Vektoren linear abhängig, so lässt sich der Nullvektor auch als nicht triviale Linearkombination schreiben. Allgemein sind die Koeffizienten einer Linearkombination von Vektoren genau dann eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.

Linearkombinationen, deren Koeffizienten nicht beliebige reelle oder komplexe Zahlen, sondern ganze Zahlen sind (man spricht dann auch von einer ganzzahligen Linearkombination), spielen beim erweiterten euklidischen Algorithmus eine zentrale Rolle; er liefert eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen [math]a,b[/math] als Linearkombination von [math]a[/math] und [math]b[/math]:

[math]\operatorname{ggT}(a,b) = s \cdot a + t \cdot b[/math].

Spezialfälle

Die hier betrachteten speziellen Linearkombinationen verwenden eine Ordnung auf dem Koeffizientenkörper, sie beschränken sich daher auf [math]\mathbb{R}[/math]- oder [math]\mathbb{Q}[/math]-Vektorräume.

Positive Koeffizienten

Hauptartikel: Konische Kombination
  • Sind die Koeffizienten [math]a_i[/math] der Linearkombination alle größer oder gleich null, so spricht man von einer konischen Linearkombination. Sind die Koeffizienten der Linearkombination alle echt größer als null, so spricht man von einer Positivkombination.

Affine Kombination

  • Ist die Summe der Koeffizienten gleich 1, so handelt es sich um eine Affinkombination. Diese Definition ist für beliebige Linksmoduln möglich.

Konvexkombination

In reellen Räumen nennt man eine Linearkombination Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und deren Summe 1 ergibt:

[math] v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dotsb + a_n v_n = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i,\quad 0 \le a_i \le 1, \sum_{i=1}^{n}a_i=1[/math].

Dabei kann die Bedingung [math]a_i \le 1[/math] entfallen, denn sie ergibt sich automatisch aus der Summenbedingung und der Nichtnegativität der Koeffizienten. Mit obigen Bezeichnungen gilt daher in reellen Räumen: Eine Linearkombination ist genau dann eine Konvexkombination, wenn sie konisch und affin ist.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen sind wieder Konvexkombinationen. Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren heißt deren konvexe Hülle.

Literatur


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