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Lineare Funktion


Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis. Für lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung.

Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion [math]f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] der Form

[math]f(x)= m\cdot x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R},[/math]

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall [math]n=0[/math], also [math]f(x) = m x[/math]. Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall [math]n \ne 0[/math] auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten [math](x,y)[/math] gilt

[math]y = m\cdot x + n[/math]

mit reellen Zahlen [math]m[/math] und [math]n[/math], wobei [math]x[/math] (die Abszisse) eine unabhängige und [math]y[/math] (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. [math]ax+b,[/math] [math]mx+c,[/math] [math]mx+b[/math] oder [math]mx+t.[/math] In Österreich wird häufig [math]y=kx+d[/math] verwendet, in der Schweiz hingegen [math]y=mx+q.[/math] In Belgien findet man auch [math]y=mx+p[/math] oder [math]y=kx+t.[/math]

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x mehr als ein y zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-) Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte [math](x_1|y_1)[/math] und [math](x_2|y_2)[/math] auf dem Graphen der linearen Funktion [math]f[/math] liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung [math]m[/math] lässt sich berechnen mit

[math]m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.[/math]

Der y-Achsenabschnitt [math]n[/math] ergibt sich mit

[math]n = y_1 - m \cdot x_1[/math] oder [math]n = y_2 - m \cdot x_2.[/math]

Der gesuchte Funktionsterm [math]f(x)[/math] ist also gegeben durch

[math]f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)[/math]

oder einfacher durch

[math]f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1.[/math]

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=mx+n[/math] heißt lineare Funktion. Im Fall [math]m \neq 0[/math] wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt [math]P[/math] mit der x-Achse: [math]P(x_P|0)\Rightarrow f(x_P)=0[/math]
Schnittpunkt [math]Q[/math] mit der y-Achse: [math]Q(0|y_Q)\Rightarrow y_Q=f(0)[/math]

Steigung

Die Steigung [math]\tan\alpha[/math] des Graphen einer linearen Funktion [math]f[/math] lässt sich als Koeffizient [math]m[/math] aus der Funktionsgleichung [math]f(x)=mx+n[/math] ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

[math]\tan\alpha = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} = \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} = \frac{\Delta y} {\Delta x}[/math]

Funktionsgleichung aufstellen

  • Die Steigung [math]m[/math] und ein Punkt [math]P_1(x_1|y_1)[/math], der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
Ansatz: [math]f(x) = mx + n[/math]
[math]P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1 \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1[/math]
  • Die Koordinaten zweier Punkte [math]P_1(x_1|y_1)[/math] und [math]P_2(x_2|y_2),[/math] die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor [math]m=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}[/math] berechnet, dann damit [math]n[/math]:
[math]P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1 \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1[/math]
oder
[math]P_2(x_2|y_2) \quad \Rightarrow \quad f(x_2) = y_2 \quad \Rightarrow \quad mx_2 + n = y_2 \quad \Rightarrow \quad n = y_2 - mx_2[/math]

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: [math]f(x)=g(x)[/math]
Die Lösung [math]x_S[/math] dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
[math]y_S=f(x_S)=g(x_S)[/math] ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes [math]S(x_S|y_S).[/math]

Orthogonale Geraden

Für die Steigungen [math]m_1[/math] und [math]m_2[/math] zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden [math]g_1[/math] und [math]g_2[/math] gilt:
[math]m_1 \cdot m_2=-1[/math]
[math]m_1=-\frac{1} {m_2}[/math]
[math]m_2=-\frac{1} {m_1}[/math]

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung von [math]f\left(x\right)=mx+n[/math] ist [math]f'\left(x\right)=m.[/math] [math]f'[/math] ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt [math]P(x|f\left(x\right))[/math] angibt.

Eine Stammfunktion von [math]f[/math] ist [math]F\left(x\right)=\frac{m}{2}x^2+nx.[/math] Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

[math]F'(x)=\left(\frac{m}{2}x^2+nx\right)'=\frac{m}{2}\cdot\left(x^2\right)'+n\cdot\left(x\right)'=\frac{m}{2}\cdot2x+n=mx+n=f(x)[/math]

Grenzwerte

Ist in einer Funktion [math]f(x)=mx+n[/math] der Koeffizient [math]m[/math] positiv, so gilt [math]\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty[/math] und [math]\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty[/math]. Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist [math]m[/math] jedoch negativ, gilt [math]\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty[/math] und [math]\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty[/math]. Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Bei dem Sonderfall [math]m=0[/math] liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also [math]\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f(x) = n[/math], der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur x-Achse.

Literatur

Weblinks

 Commons: Lineare Gleichungen  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Commons: Lineare Funktionen  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Mathematische Funktion | Analysis

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare Funktion (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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