Lineare Disjunktheit - LinkFang.de





Lineare Disjunktheit


In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper [math]M[/math] und [math]N[/math] einer Körpererweiterung [math]L/K[/math] linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von [math]M[/math], die über [math]K[/math] linear unabhängig ist, auch über [math]N[/math] linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

[math]M\otimes_KN\to L[/math]

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von [math]M[/math] und [math]N[/math] ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper [math]K[/math], d. h.

[math]M\cap N=K.[/math]

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen [math]M/K[/math] und [math]N/K[/math] endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe

  • Eine Körpererweiterung [math]L/K[/math] ist genau dann regulär, wenn [math]L[/math] linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss [math]\bar K[/math] von [math]K[/math] ist.
  • Eine Erweiterung [math]L[/math] eines Körpers [math]K[/math] der Charakteristik [math]p\gt0[/math] ist genau dann separabel, wenn [math]L[/math] linear disjunkt zu
[math]K^{p^{-\infty}}=\{x\in\bar K\mid\exists n\colon x^{p^n}\in K\}[/math]
ist.

Literatur


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