Das Limma oder Leimma (griechisch λεῖμμα ‚Überrest‘) bezeichnet in der Musik seit Euklid den pythagoreischen diatonischen Halbton. Zum Beispiel liegt in C-Dur das E ein Limma unter F und das H ein Limma unter C.
Das Limma ist definiert als die Differenz zwischen der reinen Quarte und der pythagoreischen großen Terz (Ditonus):
- [math]\begin{alignat}{2}
\text{Limma} & = \text{Quarte}_\text{rein} && - \text{große Terz}_\text{pythagoreisch}\\
& \approx \text{ 498 Cent} && - \text{ 408 Cent}\\
& \approx \text{ 90 Cent}
\end{alignat}[/math]
Sein Frequenzverhältnis berechnet sich als Quotient der Frequenzverhältnisse 4/3 der Quarte und 81/64 des Ditonus:
- [math]\frac{4}{3} : \frac{81}{64} = \frac{256}{243} = \frac{2^8}{3^5} \approx 1{,}0535 \ \widehat \approx \ 90{,}22 \; \mathrm{Cent}[/math], s. Cent
Die Quarte ist die Differenz von Oktave (Frequenzverhältnis 2/1) und Quinte (Frequenzverhältnis3/2), der Ditonus die Summe zweier Ganztöne (Frequenzverhältnis 9/8), der Ganzton schließlich die Differenz zweier Quinten und einer Oktave. So kann das Limma auch als Differenz von drei Oktaven und fünf Quinten betrachtet werden:
- [math]\begin{alignat}{2}
\text{Limma} & = \text{3 Oktaven} && - \text{5 Quinten}\\
& \approx 3 \cdot \text{1200 Cent} && - 5 \cdot \text{ 702 Cent}\\
& \approx \text{3600 Cent} && - \text{3510 Cent}\\
& \approx \text{ 90 Cent}
\end{alignat}[/math]
bzw. als Frequenzverhältnis:
- [math]\left( \frac{2}{1} \right)^3 : \left( \frac{3}{2} \right)^5 = \frac{2^8}{3^5} \approx 1{,}0535 \ \widehat \approx \ 90{,}22 \; \mathrm{Cent}[/math]
Beispiel einer Quintenkette gemäß der pythagoreischen Stimmung: F – C – G – D – A – E – H
Der entsprechende chromatische Halbton, die Apotome, ist um ein pythagoreisches Komma größer als das Limma:
- [math]90{,}22 \; \mathrm{Cent} + 23{,}46 \; \mathrm{Cent} = 113{,}68 \; \mathrm{Cent}[/math]
bzw.
- [math]\frac{2^8}{3^5} \cdot \frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{3^7}{2^{11}} = \frac{2187}{2048} \approx 1{,}0679[/math]
Limma (E-F) und Apotome (F-Fis) addieren sich zu einem großen Ganzton (E-Fis):
- [math]90{,}22 \; \mathrm{Cent} + 113{,}68 \; \mathrm{Cent} = 203{,}9 \; \mathrm{Cent}[/math]
bzw.
- [math]\frac{2^8}{3^5} \cdot \frac{3^7}{2^{11}} = \frac{3^2}{2^3} = \frac{9}8 = 1{,}125[/math]
Siehe auch