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Lie-Klammer


Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Sei [math]V[/math] ein Vektorraum über dem Körper [math]K[/math]. Eine innere Verknüpfung

[math][\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V,\quad (x,y)\mapsto [x,y],[/math]

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:[1]

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also
[math][a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z][/math]
und
[math][z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y][/math]
für alle [math]a, b\in K[/math] und alle [math]x, y, z \in V[/math].
  • Es gilt [math][x, x] = 0[/math] für alle [math]x\in V[/math].
  • Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt
[math] [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0[/math]
für alle [math]x,y,z\in V[/math].

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

Eigenschaften

Antisymmetrie

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt [math][x, y] = -[y, x][/math] für alle [math]x, y \in V[/math]. Hat der Körper [math]K[/math] nicht die Charakteristik [math]2[/math], so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft [math][x, x] = 0[/math] herleiten. Dazu setzt man [math]y=x[/math].[1]

Flexibilität

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term [math][[x,y],z][/math] muss nicht gleich dem Term [math][x,[y,z]][/math] sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also [math][[x,y],x] = [x,[y,x]][/math] für alle Elemente [math]x, y \in V[/math].

Beispiele

Triviale Lie-Klammer

Ist [math]V[/math] ein beliebiger Vektorraum und sind [math]a[/math] und [math]b[/math] zwei Elemente des Raums, dann kann durch

[math][a,b] := 0[/math]

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator

Seien [math]A[/math], [math]B[/math] und [math]C[/math] drei [math]n \times n[/math]-Matrizen mit Einträgen in einem Körper [math]K[/math] (zum Beispiel dem Körper [math]\R[/math] der reellen oder dem Körper [math]\C[/math] der komplexen Zahlen). Der Kommutator [math][\cdot, \cdot ][/math] für quadratische Matrizen ist definiert durch

[math][A,B] := A \cdot B - B \cdot A[/math],

wobei mit [math]\cdot[/math] die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für [math]\lambda , \mu \in K[/math] gelten für den Kommutator die Rechenregeln

[math]\begin{align} \left[\lambda A + \mu B,C \right] &= (\lambda A + \mu B) \cdot C - C \cdot (\lambda A + \mu B)\\ &= \lambda (A\cdot C - C\cdot A) + \mu (B\cdot C-C\cdot B)\\ &= \lambda[A,C] + \mu[B,C]\,,\end{align}[/math]
[math][A,A] = A \cdot A - A \cdot A = 0 [/math] und
[math] \begin{align} \left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right] =& [A, B\cdot C-C\cdot B] + [B,C\cdot A-A\cdot C] + [C,A\cdot B-B\cdot A]\\ =& A\cdot (B\cdot C - C\cdot B) - (B\cdot C-C\cdot B) \cdot A + B\cdot (C\cdot A - A\cdot C)\\ &- (C\cdot A - A\cdot C) \cdot B + C \cdot (A\cdot B-B\cdot A) - (A\cdot B-B\cdot A) \cdot C\\ =&0\,. \end{align}[/math]

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der [math]n \times n[/math]-Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

[math] \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}. [/math]

über dem Körper [math]\C[/math] der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von [math]\sigma_1[/math] und [math]\sigma_3[/math], so gilt

[math]\begin{align} \left[\sigma_1 , \sigma_3\right] &= \sigma_1 \cdot \sigma_3 - \sigma_3 \cdot \sigma_1\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= -2 \mathrm i \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}\\ &= -2 \mathrm i \,\sigma_2\,. \end{align}[/math]

Kreuzprodukt

Hauptartikel: Kreuzprodukt

Für [math]a , b \in \R^3[/math] ist das Kreuzprodukt

[math] a\times b = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} [/math]

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität [math]a \times a = 0[/math] können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

[math]a \times \left(b \times c\right) + b \times \left( c \times a\right) +c\times \left(a \times b\right)[/math]

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern

Hauptartikel: Lie-Ableitung

Seien [math]X[/math] und [math]Y[/math] zwei Vektorfelder auf der [math]n[/math]-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit [math]M[/math]. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

[math](\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))[/math].

Dieser Operator [math](X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y[/math] erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch [math][X,Y] := \mathcal{L}_X Y[/math].[2]

Jacobi-Klammer

Seien [math]A[/math] ein kommutativer Ring, [math]B[/math] eine kommutative Algebra über [math]A[/math] und [math]\delta_1, \delta_2 \in \operatorname{Der}(B)[/math] zwei Derivationen von [math]B[/math]. Dann ist die durch

[math][\delta_1, \delta_2] := \delta_1 \delta_2 - \delta_2 \delta_1[/math]

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.[3]

Poisson-Klammer

Hauptartikel: Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer [math]\{\cdot , \cdot \}[/math] ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

[math]\{fg,h\}=f\{g,h\} + \{f,h\}g[/math]

für alle glatten Funktionen [math]f[/math], [math]g[/math] und [math]h[/math]. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten [math](q_1, \ldots , q_n,p_1, \ldots , p_n)[/math] hat die Poisson-Klammer die Darstellung

[math]\{f,g\} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right) [/math].

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-90053-5, S. 4.
  2. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S 278–279.
  3. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 105–106.


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