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Lemoinepunkt


Der Lemoinepunkt eines Dreiecks, auch Lemoinescher Punkt, Grebepunkt oder Symmedianenpunkt genannt, ist ein ausgezeichneter Punkt im Dreieck und zwar der Schnittpunkt von dessen Symmedianen.

Eigenschaften

  • Wenn wir das Dreieck mit ABC bezeichnen und den Lemoinepunkt mit L, dann sind die Abstände des Punktes L zu den Geraden BC, CA und AB proportional zu den Längen der Seiten BC, CA und AB des Dreiecks ABC.
  • Der Lemoinepunkt ist Lösung eines gelegentlich wichtigen Optimierungsproblems: Wenn wir einen Punkt P in der Ebene des Dreiecks ABC betrachten, dann ist die Summe der Quadrate der Abstände von dem Punkt P zu den Seiten BC, CA und AB genau dann minimal, wenn P mit dem Lemoinepunkt L des Dreiecks ABC übereinstimmt.
  • Der Lemoinepunkt des größeren Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt wird, ist der sogenannte Mittenpunkt des Dreiecks.

Koordinaten

Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt, [math]X_6[/math])
Trilineare Koordinaten [math]a \, : \, b \, : \, c = \, \sin\alpha \, : \, \sin\beta \, : \, \sin\gamma[/math]
Baryzentrische Koordinaten [math]a^2 \, : \, b^2 \, : \, c^2[/math]

Weblinks


Kategorien: Dreiecksgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Lemoinepunkt (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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