Leibniz-Kriterium - LinkFang.de





Leibniz-Kriterium


Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.[1]

Aussage des Kriteriums

Sei [math](a_n)_{n \in \N}[/math] eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

[math]s = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\,.[/math]

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

Beispiele

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische Reihe

Die alternierende harmonische Reihe

[math]1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15\mp\cdots=\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2[/math]

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-Reihe

Hauptartikel: Leibniz-Reihe
[math]1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \mp \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}[/math].

Gegenbeispiel

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn [math](a_n)[/math] nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte die nicht-monotone Nullfolge

[math] a_n = \begin{cases} 0 & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{gerade},\\ \frac{2}{n+1} & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{ungerade}. \end{cases} [/math]

Die alternierende Reihe [math]s[/math] mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe [math]s[/math] divergent.

Abschätzung des Grenzwerts

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei

[math]s_N = \sum_{n=0}^N (-1)^n a_n[/math]

die [math]N[/math]-te Partialsumme der Reihe

[math]s = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n[/math]

mit einer monoton fallenden Nullfolge [math](a_n)_{n\in\N}[/math].

Dann gilt für alle [math]k \in \mathbb{N}[/math]:

[math]s_{2k-1} \le s \le s_{2k}.[/math]

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach [math]N[/math] Summanden:[2]

[math]|s-s_N| = \left|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n a_n \right| \le a_{N+1}.[/math]

Beweis

Wir betrachten die Teilfolge [math](s_0,s_2,s_4,\dots) = (s_{2k})_{k\in\mathbb{N}}[/math] der Folge der Partialsummen. Da die Folge [math](a_k)_{k\in\N}[/math] monoton fallend ist, gilt

[math]s_{2k+2}=s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2}\le s_{2k},\quad k\in\mathbb{N}[/math],

das heißt die Folge [math](s_{2k})_{k\in\N}[/math] ist ebenfalls monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

[math]s_{2k}=(a_0-a_1)+(a_2-a_3)+ \dots +(a_{2k-2}-a_{2k-1})+a_{2k}\ge a_{2k} \ge 0[/math],

nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge [math](a_k)_{k\in\N}[/math] größer gleich Null sind. Die Folge [math](s_{2k})_{k\in\N}[/math] ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge [math](s_1,s_3,s_5,\dots) = (s_{2k+1})_{k\in\N}[/math] ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

[math]\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k+1}= \lim_{k\rightarrow\infty} \left(s_{2k} - a_{2k+1}\right) =\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k}[/math]

wegen

[math]\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k+1}=0[/math]

gilt.[3]

Verallgemeinerung

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Dirichlet-Kriteriums dar.

Einzelnachweise

  1. Leibniz criterion. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online ).
  2. Siehe http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
  3. Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit [math]a_1[/math], so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.

Kategorien: Gottfried Wilhelm Leibniz

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.