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Legendre-Symbol


Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt.

Definition und Notation

Das Legendre-Symbol gibt an, ob die Zahl [math]a[/math] quadratischer Rest modulo p oder quadratischer Nichtrest modulo p ist. Dabei muss [math]p[/math] eine Primzahl sein. Es gilt

[math]\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ -1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn } a \mbox{ ein Vielfaches von } p \mbox{ ist} \end{cases}[/math]

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialfall des Jacobi-Symbols, das die gleiche Schreibweise hat. Weitere Notationsvarianten für das Legendre-Symbol sind [math](a/p)[/math] und [math]L(a,p)[/math].

Berechnung

Das Eulersche Kriterium gibt an, wie sich das Legendre-Symbol für eine ungerade Primzahl [math]p[/math] berechnen lässt:

[math]\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p[/math]

Für die einzige gerade Primzahl [math]2[/math] gilt:

[math]-1 \equiv 1 \pmod 2[/math]

Jede ungerade Zahl ist quadratischer Rest und jede gerade Zahl ist ein Vielfaches des Moduls 2, modulo 2 gibt es also keine Nichtreste:

[math]L(a,2) = a \bmod 2[/math]

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff, nach dem für ungerade Primzahlen

[math]\left(\frac{a}{p}\right) = \operatorname{sgn}(\pi_{a,p})[/math]

gilt, wobei

[math]\pi_{a,p}(k) \equiv a \cdot k \pmod p[/math]

eine Permutation der Zahlen von [math]0[/math] bis [math]p-1[/math] darstellt und [math]\operatorname{sgn}[/math] das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet.

Beispiele

2 ist quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja [math]2\equiv 3^2\pmod 7[/math]:

[math]\left(\frac{2}{7}\right) \equiv 2^{\frac{7-1}{2}}= 2^3 \equiv 1\mod 7[/math]

5 ist quadratischer Nichtrest modulo 7:

[math]\left(\frac{5}{7}\right) \equiv 5^{\frac{7-1}{2}} = 5^3 \equiv 6 \equiv -1 \mod 7[/math]

14 ist durch 7 teilbar (also weder Rest noch Nichtrest von 7):

[math]\left(\frac{14}{7}\right) \equiv 14^{\frac{7-1}{2}} = 14^3 \equiv 0 \mod7[/math]

Rechenregeln

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Es seien nun [math]a, b \in \Z[/math] und [math]p[/math] eine Primzahl. Dann gelten folgende Rechenregeln:

  • [math]a \equiv b \pmod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)[/math]
  • [math]\left(\frac{a}{p}\right) \cdot \left(\frac{b}{p}\right) = \left(\frac{a\cdot b}{p}\right)[/math]
  • [math]\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0[/math] für [math]p\ne 2[/math].

Die besondere Stellung der Zahl 3

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und -1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

[math]\left(\frac{a}{3}\right) \equiv a^{\frac{3-1}{2}}\ \operatorname{mod}\ 3 = a \ \operatorname{mod}\ 3[/math]

Andererseits gilt auch:

[math]\left(\frac{3}{p}\right) = \prod_{l=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[3-4\,\sin^2{\left(\frac{2 \pi l}{p}\right)}\right][/math]

Kategorien: Zahlentheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Symbol (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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