Leere Menge - LinkFang.de





Leere Menge


{ }
Die leere Menge ist ein grundlegender Begriff aus der Mengenlehre. Man bezeichnet damit die Menge, die keinerlei Elemente enthält. Da Mengen über ihre Elemente charakterisiert werden und zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben (siehe Extensionalitätsaxiom der Mengenlehre), gibt es nur eine einzige leere Menge.

Die leere Menge ist nicht mit einer Nullmenge zu verwechseln, welche eine Menge mit dem Maß null ist. Eine solche Menge kann sogar unendlich viele Elemente enthalten.

Notation und Codierung

Als Zeichen für die leere Menge hat sich das von Nicolas Bourbaki verwendete Zeichen [math]\varnothing[/math] (ein durchgestrichener Kreis) weitgehend durchgesetzt. Eine typographische Variante davon ist [math]\emptyset[/math] (ein durchgestrichenes schmales Oval). Vor allem in der Schulmathematik wird die leere Menge auch gern durch eine leere Mengenklammer dargestellt: [math]\left\{\right\}[/math]. Dieses Zeichen wirkt einem Missverständnis entgegen: Die leere Menge ist nicht nichts, sondern eine Menge, die nichts enthält.

Das ∅ ist in HTML als ∅ bzw. als ∅ kodiert; in Unicode als U+2205 und in LaTeX als \varnothing. Alternativ gibt es in LaTeX das Symbol [math]\emptyset[/math], das durch \emptyset erzeugt wird. Nicht verwechselt werden sollte es mit dem ähnlich aussehenden Durchmesserzeichen ⌀, das als U+2300 kodiert ist, oder dem skandinavischen Buchstaben Ø (U+00D8 bzw. U+00F8).

Leermengenaxiom

Ein Axiom, das die Existenz einer leeren Menge fordert, wurde erstmals 1907 von Ernst Zermelo in der Zermelo-Mengenlehre formuliert. Es wurde später in die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und andere axiomatische Mengenlehren übernommen. Dieses Leermengenaxiom lautet verbal: Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält. Die präzise logische Formel lautet:

[math]\exist M\colon \forall X\colon \lnot (X \in M)[/math]

Die Eindeutigkeit der leeren Menge folgt aus dem Extensionalitätsaxiom. Die Existenz der leeren Menge folgt mit dem Aussonderungsaxiom aus der Existenz irgendeiner anderen Menge. In ZF, das im Unendlichkeitsaxiom die Existenz einer Menge fordert, ist das Leermengenaxiom damit entbehrlich.

Eigenschaften

  • Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
    [math] \emptyset \subseteq A [/math]
  • Jede Menge bleibt bei Vereinigung mit der leeren Menge unverändert:
    [math] \emptyset \cup A = A [/math]
  • Für jede Menge ist der Durchschnitt mit der leeren Menge die leere Menge:
    [math] \emptyset \cap A = \emptyset [/math]
  • Für jede Menge ist das kartesische Produkt mit der leeren Menge die leere Menge:
    [math] \emptyset \times A =\emptyset [/math]
  • Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge:
    [math] A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset [/math]
  • Daraus folgt, dass die Potenzmenge der leeren Menge genau ein Element enthält, nämlich die leere Menge selbst:
    [math]\mathcal P(\emptyset) = \left\{ \emptyset \right\} [/math]
  • Für jede widersprüchliche Aussage oder nicht erfüllbare Eigenschaft [math]E(x)[/math] gilt:
    [math] \emptyset = \left\{ x \mid E(x) \right\} [/math], z. B. [math] \emptyset = \left\{ x \mid x \in \mathbb Z, x+1=x+2 \right\} [/math]
Damit ist die leere Menge insbesondere die Lösungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung, die keine Lösung besitzt.
  • Jede Existenzaussage über Elemente der leeren Menge, etwa
    „Es existiert ein x aus [math]\emptyset[/math], sodass gilt…“
ist falsch, denn es gibt kein Element, das die Bedingung erfüllen könnte.
  • Jede All-Aussage über Elemente der leeren Menge, etwa
    „Für alle Elemente der Menge [math]\emptyset[/math] gilt…“
ist wahr, denn es gibt kein Element, für das die fragliche Eigenschaft nachgeprüft werden müsste.
  • Für jede Menge [math]A[/math] gibt es genau eine Abbildung
    [math]f \colon \emptyset \to A[/math]
(Die leere Menge ist das Anfangsobjekt in der Kategorie der Mengen.)
  • Sei [math]A[/math] eine Menge und [math]f \colon A \to \emptyset[/math] eine Abbildung. Dann ist [math]A[/math] die leere Menge.
  • Die leere Menge ist die einzige Basis des Nullvektorraums.
  • Die leere Menge ist definitionsgemäß in jedem topologischen Raum zugleich abgeschlossen und offen.
  • Ebenfalls per Definition ist die leere Menge in jedem Maßraum eine messbare Menge und besitzt das Maß 0.

Kardinalität der leeren Menge

Die leere Menge ist die einzige Menge mit der Kardinalität (Mächtigkeit) Null:

[math] \left\vert \emptyset \right\vert = 0.[/math]

Sie ist daher auch der einzige Repräsentant der Kardinalzahl 0 und der Ordinalzahl 0. Insbesondere ist sie eine endliche Menge.

Die leere Menge ist auch die einzige Menge die durch ihre Kardinalität bereits eindeutig bestimmt ist, für jede andere Kardinalzahl dagegen ist die Klasse der Mengen dieser Kardinalität sogar echt.

Literatur

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge – Lern- und Lehrmaterialien

Kategorien: Mengenlehre

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Leere Menge (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.